贡献者： 零穹
1数论里有加减乘除，带余除法，（公）因子，（公）倍数，素数，辗转相除法等概念，这些都可以推广到一元多项式里面。一元多项式和 $\lambda$ -矩阵密切相关，$\lambda$ -矩阵又是所谓的 Jordan 标准形的基本概念，而 Jordan 标准形是方阵分解的特例，也为理解方阵分解提供了一个很好的样本。为掌握更高阶的知识，我们得一点点的夯实基础，而这个过程本身就是一个很具有意义的过程。当然，上面提到的概念不要求你提前掌握，若需掌握我会在文中给出链接。所以，不要害怕，我们慢慢来！
讨论多项式时，我们会预先给定一个数域 $\mathbb{F}$，所谓数域，简单来说是关于加减乘除都封闭的数集（运算关于集合封闭是指该集合中元素的运算结果还是该集合的元素）。
定义 1 一元多项式
设 $n$ 是一个非负整数，$x$ 是一个符号，$a_0,a_1,\cdots,a_n\in \mathbb{F}$，则表达式
\begin{equation}
f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i x^i~.
\end{equation}
称为数域 $\mathbb{F}$ 上的
一元多项式，简称数域 $\mathbb{F}$ 上的
多项式。其中，$a_ix^i(0\leq i\leq n)$ 称为这个多项式的
$i$ 次项，$a_i$ 称为
$i$ 次项系数。特别，$a_0$ 称为多项式的
常数项。若 $a_n\neq 0$（$n$ 为最大整数），则 $n$ 称为多项式 $f(x)$ 的
次数，记为 $\mathrm{deg}\;f(x)$，并把 $a_nx^n$ 称为 $f(x)$ 的
首项，$a_n$ 称为
首项系数。所有各次项系数为 0 的多项式称为
零次多项式，零多项式不定义次数或次数看作 $-\infty$.
两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 称为相等的，若它们的所有同次项的的系数都相等，并记为 $f(x)=g(x)$。
1. 多项式的运算
设数域上的两个多项式
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i\\
g(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i~.
\end{aligned}
\end{equation}
不失一般性，设 $n\geq m$
下面定义它们的加法和乘法。
定义 2 加法
多项式的和（或差）为
\begin{equation}
f(x)\pm g(x)=\sum_{i=0}^n (a_i\pm b_i)x^i
~,
\end{equation}
其中，约定了 $b_n=b_{n-1}=\cdots=b_{m+1}=0$。特别 $f(x)+0=f(x)$。
显然，两个多项式的和或差仍是多项式。式 3 表明两个多项式的和的次数最多和原来次数最大的多项式一样，而系数之和可能为 0，所以和的次数满足不等式
\begin{equation}
\mathrm{deg}\;(f(x)\pm g(x))\leq \max\{\mathrm{deg}\;f(x),\mathrm{deg}\;g(x)\}~.
\end{equation}
定义 3 数乘
多项式的数乘定义为
\begin{equation}
cf( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum_{i=0}^n (ca_i)x^i~.
\end{equation}
其中 $c\in\mathbb F$。
定义 4 乘法
多项式的乘积为
\begin{equation}
f(x)\cdot g(x)=\sum_{s=0}^{m+n} c_s x^s
~,
\end{equation}
其中，
\begin{equation}
c_s=\sum_{i=0}^s a_i b_{s-i}~,
\end{equation}
乘积中的 “$\cdot$” 可省略。特别的，$f(x)\cdot 0=0$。
显然，两个多项式的乘积仍是多项式。式 6 表明两个多项式的乘积的次数最多为原来两多项式次数的相加，而该次数最高项系数为 $c_{m+n}=a_n b_m$，不可能为 0，所以乘积的次数满足等式
\begin{equation}
\mathrm{deg}\;(f(x)g(x))= \mathrm{deg}\;f(x)+\mathrm{deg}\;g(x)~.
\end{equation}
容易验证，多项式运算满足如下规律。
- 加法交换律 $f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$；
- 加法结合律 $ \left(f(x)+g(x) \right) +h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))$;
- 乘法交换律 $f(x)g(x)=g(x)f(x)$;
- 乘法结合律 $(f(x))g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x))$;
- 乘法对加法的分配律 $f(x) \left(g(x)+h(x) \right) =f(x)g(x)+f(x)h(x)$;
- 乘法消去律 若 $f(x)g(x)=f(x)h(x)$，且 $f(x)\neq0$，则 $g(x)=h(x)$.
我们将系数在数域 $\mathbb{F}$ 中的一元多项式的全体，称为数域 $\mathbb{F}$ 上的一元多项式环，记为 $\mathbb{F}[x]$，$\mathbb{F}$ 称为 $\mathbb{F}[x]$ 的系数域.
一个集合中元素的加法和乘法运算若满足上面 6 条规律且加上运算的封闭性（配上加法和乘法的单位元 e,所谓集合的某个运算的单位元e 是指，集合中任意元素 x 与该元素（单位元）进行运算还是等于这个任意元素 x）就成这个集合为一个环。如果你对环有更多的兴趣，请点击。
小结：本节介绍了一元多项式，并定义了一元多项式的加法和乘法，然后得到了相应的运算律。可能你会觉得 “加法” 和 “乘法” 不是很明显吗？为什么称之为 “定义”？其实，这里之所以称 “加法” 和 “乘法” 为定义，是因为记号 $x$，它并不代表一个数，所以和数何来的乘法？数只有和数有乘法，因为数域已经定义好了，而数和一个符号 $x$ 是没有定义的，所以这里的 “加法” 和 “乘法” 是为数和符号 $x$ 定义一种作用（称之为 “加法” 和 “乘法”）。只有当你让 $x\in \mathbb{F}$ 的时候，由于数域已经定义了加法和乘法，这里才不是定义。当然，这只是符号 $x$ 的一种特殊情形。当然，文中已经潜在定义了 $x\cdot x=x^2$, 以此同理。
1. ^ 吴群。矩阵分析[M].上海：同济大学出版社