线性方程组与增广矩阵
贡献者： Giacomo; addis
1. 增广矩阵
下面我们从线性代数（矩阵）的角度理解线性方程组。
考虑 $m$ 个 $n$ 元一次方程构成的线性方程组：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
a_{1 1} x_1 + a_{1 2} x_2 + \dots + a_{1 n} x_n &= y_1, \\
a_{2 1} x_1 + a_{2 2} x_2 + \dots + a_{2 n} x_n &= y_2, \\
\vdots \\
a_{m 1} x_1 + a_{m 2} x_2 + \dots + a_{m n} x_n &= y_m~. \end{aligned}\right.
\end{equation}
我们可以把他改写成矩阵与列向量的等式：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} ~,
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}
a_{1 1} & a_{1 2} & \dots & a_{1 n} \\
a_{2 1} & a_{2 2} & \dots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n}
\end{pmatrix} , \boldsymbol{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_m
\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
更近一步的，我们会使用增广矩阵 $ \begin{pmatrix} \boldsymbol{\mathbf{A}} \mid \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{pmatrix} $，即
\begin{equation}
\left[{\begin{array}{cccc|c}
a_{1 1} & a_{1 2} & \dots & a_{1 n} & y_1 \\
a_{2 1} & a_{2 2} & \dots & a_{2 n} & y_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & y_m
\end{array}}\right]~
\end{equation}
来表示一个线性方程组。
如果 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 我们就称方程组为其次方程（组）。
2. 超定、恰定、不定方程组
我们称 $m$ 个 $n$ 元一次方程构成的线性方程组为
- 超定的（overdetermined），如果 $m > n$；
- 恰定的，如果 $m = n$；
- 不定的/欠定的（underdetermined），如果 $m < n$；
未完成：线性方程组的解