贡献者： Giacomo; 零穹; xzllxls
仿射集是矢量空间中的一类子集，它起源于线性代数和几何学的共同发展。它是研究向量空间中点的集合性质的一种方式。在更广泛的背景下，其所对应的仿射几何已经成为几何学的一个重要分支。本文将介绍其基本概念和一些相关的定理。
定义 1 仿射组合与仿射集
取向量空间 $V$ (记其域为 $\mathbb{F}$) 中的两点 $x_1, x_2 \in V$ 的线性组合 $\theta x_1 + (1 - \theta) x_2$ 被称为 $x_1, x_2$ 的仿射组合；更一般的，系数和为一（即 $\sum_i a_i = 1$）的线性组合 $\sum_i a_i x_i$ 被称为 $x_1, \dots, x_n$ 的仿射组合。
向量空间的子集 $C \subseteq V$ 被称为仿射集（affine set），意味着 $C$ 中的任意仿射组合都在 $C$ 中；等价的，我们只需要考虑任意两个向量的仿射组合即可（和向量子空间的情况一样）。
图 1：仿射集示意图
图 $1$ 表示的是一条穿过 $x_1,x_2$ 两点的直线。当 $0 \leq \theta \leq 1$，形成图中直线加粗的部分；反之，形成直线上细线表示的部分。
从几何上看，仿射集仍然是平直的，或者说 “线性的”：
定理 1
对任意的仿射集 $C \subseteq V$，存在唯一的向量子空间 $U \subseteq V$，使得对任意的 $x \in C$，我们有
\begin{equation}
C = x + U = \{ x + v \mid v \in U\}~.
\end{equation}
证明：第一步，取一点 $x_0 \in C$，我们定义
\begin{equation}
U: = \{ x - x_0 \mid x \in C \}~,
\end{equation}
要证明它是一个向量子空间：
- $0_V = x_0 - x_0 \in U$，
- 对任意的 $a, b \in \mathbb{F}$，$x, y \in C$，
\begin{equation}
\begin{aligned}
a (x - x_0) + b (y - x_0) &= a x + b y - (a + b - 1) x_0 - x_0 \\
&= a x + b y + (1 - (a + b)) x_0 - x_0 \\
\end{aligned}~
\end{equation}
第二步，要证明对任意的 $x \in C$，$C = x + U$：首先证明 $\subseteq$，对任意的 $y \in C$，我们有
\begin{equation}
y = x + (y - x_0) - (x - x_0); ~
\end{equation}
现在证明 $\supseteq$，对任意的 $u = z - x_0 \in U$，我们有
\begin{equation}
x + u = x + z + (-1) x_0 ~
\end{equation}
是 $x, z, x_0$ 得仿射组合，证得。
第三步，要证明 $U$ 不依赖于 $x_0$ 的选取——对任意的 $x' \in C$，定义 $U': = \{x - x' \mid x \in C\}$，我们要证明 $U' = U$，处于对称性我们只需要证明 $U' \subseteq U$：取 $x \in C$，
\begin{equation}
x - x' = (x + x_0 - x') - x_0 ~
\end{equation}
$x + x_0 - x'$ 是 $x, x_0, x'$ 的仿射组合，因此证得。
第四步，证明 $U$ 的唯一性：假设 $V$ 存在另外一个向量子空间 $U'$ 满足对任意 $x \in C$，$C = x + U'$，取 $x = x_0$，那么 $x_0 + U' = x_0 + U \implies U' = U$。
证毕！
因此我们可以定义仿射集的维度
定义 2 维度
对于仿射集 $C \subseteq V$，我们定义它的维度为它对应的向量空间的维度。
特别的，一维的仿射集被称为仿射直线，二维的被称为仿射平面，余一维的被称为仿射超平面。
在向量空间中谈直线、平面、超平面时，我们有时指的是向量子空间，有时指的是仿射子空间，要注意分辨。
定理 2
对于向量空间的子集 $C \subseteq V$，$C$ 为仿射集当且仅当过 $C$ 中任意不同的两点的（仿射）直线仍然在 $C$ 中。
证明：必要性：假设 $C$ 是仿射集。那么任意由 $x_1,x_2\in C$ 确定的直线为 $x_1+(1-k)x_2,k\in\mathbb F$，即是 $x_1,x_2$ 的仿射组合，因此由仿射集的定义（定义 1 ），该直线属于 $C$。
充分性：设 $C$ 是过其上任意两点的直线都在 $C$ 中的集。那么任意 $x_i\in C,i=1,\cdots ,n$，对任意满足 $\sum_{i}a_i=1$ 的 $a_i\in\mathbb F$，成立（不失一般性，设 $a_1\neq1$）
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n a_ix_i=(1-a_1)\sum_{i=2}^n \frac{a_i}{1-a_1}x_i+a_1x_1~.
\end{equation}
设 $n-1$ 时充分性成立。那么 $\sum_{i=2}^n \frac{a_i}{1-a_1}x_i\in C$，又
式 7 是 $\sum_{i=2}^n \frac{a_i}{1-a_1}x_i$ 和 $x_1$ 的仿射组合，因此 $\sum_{i=1}^n a_ix_i\in C$，即 对 $n$ 时充分性成立。根据数学归纳法和仿射集的定义，$C$ 是仿射集。
证毕！
推论 1
设 $U\subset V$ 是线性空间 $V$ 的子空间，$x\in V$，则 $x+U$ 是仿射集。
证明：任意 $x_1,x_2\in x+U$，设 $x_1=x+y_1,x_2=x+y_2$，其中 $y_1,y_2\in U$。则过 $x_1,x_2$ 的直线为
\begin{equation}
\{x_1+k(x_2-x_2)|k\in\mathbb F\}=\{x+(y_1+k(y_2-y_1))|k\in\mathbb F\}\subset x+U~.
\end{equation}
因为 $x_1,x_2$ 任意，所以由
定理 2 ，命题得证！
证毕！
