仿射空间

贡献者：零穹; addis

预备知识　矢量空间

　　在任一矢量空间 $V$ 中，与零矢量 $0$ 结合在一起的坐标原点总是起着特殊的作用，因为在空间 $V$ 的所有到其自身的线性双射 $f : V \to V$ 下（这样的映射也称作矢量空间的自同构映射），零矢量 $0$ 是不变的（推论 1 ），这意味着坐标原点具有突出于其它空间点的性质。然而，对身处 3 维空间中的我们来说，放置在不同位置的点线面显然不依赖于一个挑选出来的坐标原点。因此，为了满足我们的需求，我们希望把矢量空间的自同构群加以扩展，使得所有的空间点都等价。完成这一任务的属于仿射空间。

1. 仿射空间

　　仿射空间的定义是基于矢量空间的。

定义 1　仿射空间

　　设 $V$ 是域 $F$ 上的矢量空间。且 $A$ 是一个集合，其元素称作点，并用 $\dot{p}, \dot{q}, \dot{r}, \dots$ 表示。称 $A$ （或 $(A, V)$ ）是和 $V$ 相伴（连带的）的仿射空间，若给定笛卡尔积 $A \times V$ 到 $A$ 的映射（记该映射的像 $f (\dot{p}, v)$ 为 $\dot{p} + v$ ）：

\begin{matrix} (1) & f : (\dot{p}, v) \mapsto \dot{p} + v . \end{matrix}

其具有性质：

$\begin{matrix} (2) & \forall \dot{p} \in A, \forall u, v \in V \Rightarrow \dot{p} + 0 = \dot{p}, (\dot{p} + u) + v = \dot{p} + (u + v) . \end{matrix}$
其中，0 是空间 $V$ 的零矢量；
$\forall \dot{p}, \dot{q} \in A$ ，有且仅有一个矢量 $v \in V$ 使得 $\dot{p} + v = \dot{q}$ 。通常用 $\vec{p q}$ 或 $\dot{q} - \dot{p}$ 代表矢量 $v$ 。

　　并把 $V$ 的维数 $n$ 称为 $A$ 的维数，有时记成 $A^{n}$ 。

　　在定义中，用了 $\dot{p} + v$ ，这和矢量空间中的 $u + v$ 的＋号一样，但这并不会引起混淆。因为，一个是 $A$ 中的点和 $V$ 中矢量的相作用，一个是 $V$ 中的两矢量相作用，当写出表达式时，“+” 两边的对象是已知的，就能立刻知道是哪种情况。

　　由仿射空间的定义，可推出下面两个性质（留做习题）：

每个点 $\dot{p} \in A$ 都对应一个从 $V$ 到 $A$ 的双射：
$\begin{matrix} (3) & v \mapsto \dot{p} + v . \end{matrix}$
有 $A \to A$ 上的双射：
$\begin{matrix} (4) & t_{v} : \dot{p} \mapsto \dot{p} + v . \end{matrix}$
称其为用矢量 $v$ 平移 $A$ （或平行移动 $A$ ）。由定义中的 1，2，有
$\begin{matrix} (5) & t_{u} \cdot t_{v} = t_{u + v}, t_{v} \cdot t_{- v} = e . \end{matrix}$
其中 $e = t_{0}$ 是恒等映射。显然所有的平移构成一个群。

定义 2　平移空间

　　令

\begin{matrix} (6) & α t_{u} + β t_{v} := t_{α u + β v} . \end{matrix}

则所有平移的集合构成一个矢量空间，称为平移空间，记作

A^{#}

例 1　

　　由仿射空间的定义，试证明：

\begin{matrix} (7) & \vec{p q} + \vec{q r} = \vec{p r}, \vec{p q} = - \vec{q p}, \vec{p p} = 0 . \end{matrix}

亦即

\begin{matrix} (8) & (\dot{q} - \dot{p}) + (\dot{r} - \dot{q}) = \dot{r} - \dot{p}, (\dot{q} - \dot{p}) = - (\dot{p} - \dot{q}), \dot{p} - \dot{p} = 0 . \end{matrix}

习题 1　

　　试证明：平移空间 $A^{#}$ 同构于矢量空间 $V$ 的加法群。

2. 仿射空间的同构

　　仿射空间的同构和一般的同构定义实质上相同，都是起说明两个集合结构相同的作用，即集合上元素之间运算，对应于另一集合对应元素之间的运算，这个 “对应” 是靠双射来完成的。

定义 3　仿射映射，同构

　　设 $A, A^{'}$ 是同一域 $F$ 上分别与矢量空间 $V, V^{'}$ 相伴随的仿射空间。称映射

\begin{matrix} (9) & f : A \to A^{'} \end{matrix}

是个仿射映射(或线性仿射映射)，如果，所有的

\dot{p} \in A, v \in V

都满足

\begin{matrix} (10) & f (\dot{p} + v) = f (\dot{p}) + D f \cdot v . \end{matrix}

其中，

D f : V \to V^{'}

是矢量空间上的线性映射，称

D f

是映射

f

的线性部分（或微分）。若仿射映射

f

为双射，则称

A

和

A^{'}

是同构的，若此外

A = A^{'}

，则称

A

借助

f

实现自同构。

定理 1　

　　仿射映射

\begin{matrix} (11) & f : A \to A^{'} \end{matrix}

是双射，当且仅当线性部分

\begin{matrix} (12) & D f : V \to V^{'} \end{matrix}

是双射

　　 证明：

　　 1. $f \Rightarrow D f$

　　因为 $f$ 是双射，所以对 $v_{1} \neq v_{2} \Rightarrow \dot{p} + v_{1} \neq \dot{p} + v_{2}$ ，有

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} f (\dot{p}) + D f \cdot v_{1} = f (\dot{p} + v_{1}) & \neq f (\dot{p} + v_{2}) = f (\dot{p}) + D f \cdot v_{2} \\ ⇓ \\ D f \cdot v_{1} & \neq D f \cdot v_{2} . \end{aligned} \end{matrix}

这就证明了

D f

的单射性。

\forall v^{'} \in V^{'}

，对

\forall f (\dot{p}) + v^{'}

f

双射意味着

\exists v

，使得

\begin{matrix} (14) & f (\dot{p}) + v^{'} = f (\dot{p} + v) = f (\dot{p}) + D f \cdot v . \end{matrix}

即

v^{'} = D f \cdot v

，这就证明了满射性。于是

D f

双射得证。

　　 2. $D f \Rightarrow f$

　　设 $\dot{p} \neq \dot{q}$ ，固定一点 $\dot{o} \in A$ ，由仿射空间性质， $\exists \vec{o p} \neq \vec{o q} \in V$ ，使得

\begin{matrix} (15) & \dot{p} = \dot{o} + \vec{o p}, \dot{q} = \dot{o} + \vec{o q} . \end{matrix}

由

D f

的单射性

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} D f \cdot \vec{o p} & \neq D f \cdot \vec{o q}, \\ ⇓ \\ f (\dot{p}) = f (\dot{o}) + D f \cdot \vec{o p} & \neq f (\dot{o}) + D f \cdot \vec{o q} = f (\dot{q}) . \end{aligned} \end{matrix}

即有

f (\dot{p}) \neq f (\dot{q})

，这就证明了

f

的单射性。

　　 $\forall {\dot{p}}^{'} \in A^{'}$ ，同样 $\exists \vec{o^{'} p^{'}} \in V^{'}$ 使得 ${\dot{p}}^{'} = o^{'} + \vec{o^{'} p^{'}}$ ，其中 ${\dot{o}}^{'} = f (\dot{o})$ ，由 $D f$ 的满射性，

\begin{matrix} (17) & \exists v \in V, s t . D f \cdot v = \vec{o^{'} p^{'}} . \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (18) & f (\dot{o} + v) = f (\dot{o}) + D f \cdot v = {\dot{o}}^{'} + \vec{o^{'} p^{'}} = {\dot{p}}^{'}, \end{matrix}

这就证明了满射性。 \end{enumerate} 证毕！

推论 1　

　　具有相同维数的仿射空间 $(A, V), (A^{'}, V^{'})$ 必同构。

　　 证明： 由于维数相同的矢量空间必同构，所以存在双射 $F : V \to V^{'}$ ，令其作为 $D f$ ，由定理 1 ，即得证!

定理 2　

　　任意仿射变换 $f : E \to E$ ，设其线性部分为 $F$ ，则必有

\begin{matrix} (19) & f = t_{a} g . \end{matrix}

其中

t_{a}

是矢量

a = \vec{o f (o)}

对应的平移，

g

是一个在给定点

\dot{o}

处保持不动的仿射变换。

　　现在，若将固定点改为 ${\dot{o}}^{'}$ ，那么需取 $a^{'} = a + (F - E) \vec{o o^{'}}$ 来代替 $a$ 。

　　 证明： 设 $V$ 是与空间 $E$ 伴随的矢量空间，则 $\forall v \in V$ ，有

\begin{matrix} (20) & f (\dot{o} + v) = f (\dot{o}) + F v = \dot{o} + \vec{o f (o)} + F v . \end{matrix}

若令

\begin{matrix} (21) & g (\dot{o} + v) = \dot{o} + F v, a = \vec{o f (o)}, \end{matrix}

则式 20 可写为

\begin{matrix} (22) & f (\dot{o} + v) = g (\dot{o} + v) + a = t_{a} g (\dot{o} + v) . \end{matrix}

由于

v

的任意性，故

f = t_{a} g

。由，

g

显然对

\dot{o}

不变。

　　当用固定点取 ${\dot{o}}^{'}$ ，显然 $\vec{o f (o)}$ 需用 $\vec{o^{'} f (o^{'})}$ 替换，而

\begin{matrix} (23) & \begin{aligned} f ({\dot{o}}^{'}) = f (\dot{o}) + F \vec{o o^{'}} \Rightarrow {\dot{o}}^{'} + \vec{o^{'} f (o^{'})} & = \dot{o} + \vec{o f (o)} + F \vec{o o^{'}} \\ ⇓ \\ \vec{o^{'} f (o^{'})} & = \vec{o f (o)} + (F - E) \vec{o o^{'}} . \end{aligned} \end{matrix}

注意

a = \vec{o f (o)}

，并令

a^{'} = o^{'} f (o^{'})

，即得

a^{'} = a + (F - E) \vec{o o^{'}}

。

　　 证毕！

3. 坐标

定义 4　坐标系（坐标架）

　　称点 $\dot{o} \in A$ 和 $V$ 的一个基底 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ 的集合 ${\dot{o}; e_{1}, \dots, e_{n}}$ 是 $n$ 维仿射空间 $(A, V)$ 的一个坐标系（或坐标架）。矢量 $\vec{o p}$ 在基底 $e_{i}$ 下

\begin{matrix} (24) & \vec{o p} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i} \end{matrix}

的坐标就被认为是点

\dot{p}

在坐标系

{\dot{o}; e_{1}, \dots, e_{n}}

之下的坐标。

　　坐标系同样也可以用这样的 $n + 1$ 个点 ${{\dot{p}}_{0}; {\dot{p}}_{1}, \dots, {\dot{p}}_{n}}$ 给出，只要矢量 $\vec{p_{0} p_{1}}, \dots, \vec{p_{0} p_{n}}$ 构成空间 $V$ 的一个基底即可。

定理 3　

　　设 ${{\dot{p}}_{0}; {\dot{p}}_{1}, \dots, {\dot{p}}_{n}}$ 是空间 $V$ 的一个坐标系：

\begin{matrix} (25) & e_{i} := \vec{p_{0} p_{i}}, i = 1, \dots, n . \end{matrix}

若

\dot{p}, \dot{q}

在此坐标系中的坐标分别为

x_{1}, \dots, x_{n}

和

y_{1}, \dots, y_{n}

，那么：

矢量 $\vec{p q}$ 在此基底之下的坐标为 $y_{1} - x_{1}, \dots, y_{n} - x_{n}$ ;
对任意矢量 $a = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_{i}$ ，点 $\dot{p} + a$ 的坐标是 $x_{1} + a_{1}, \dots, x_{n} + a_{n}$ 。

　　 证明： 由：

\begin{matrix} (26) & \vec{p q} = \vec{p p_{0}} + \vec{p_{0} q} = \vec{p_{0} q} - \vec{p_{0} p} . \end{matrix}

由矢量加法定义，即证得定理中的 1.

　　设 $\dot{q} = \dot{p} + a$ ，于是 $a = \vec{p q}$ ，结合式 26 ，有

\begin{matrix} (27) & a = \vec{p_{0} q} - \vec{p_{0} p} \Rightarrow \vec{p_{0} q} = a + \vec{p_{0} p} . \end{matrix}

由矢量加法和点的坐标定义，即证得定理中的 2.

　　 证毕！

不同坐标系下坐标的转换关系

定理 4　

　　设 ${\dot{o}; e_{1}, \dots, e_{n}}, {{\dot{o}}^{'}; e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}}$ 是仿射空间 $A$ 中的两个坐标系。 $\dot{p}, {\dot{o}}^{'}$ 在前一坐标系下的坐标分别为 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 和 $b_{1}, \dots, b_{n}$ 。则 $\dot{p}$ 在后一坐标系下的坐标 $x_{i}^{'}$ 满足

\begin{matrix} (28) & x^{'} = A^{- 1} x - A^{- 1} b . \end{matrix}

其中，

A

是前一坐标系到后一坐标系的转换矩阵。

\begin{matrix} (29) & x = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}, x^{'} = (x_{1}^{'}, \dots, x_{n}^{'})^{T}, b = (b_{1}, \dots, b_{n})^{T} . \end{matrix}

　　 证明：由

\begin{matrix} (30) & \begin{aligned} \sum_{i} x_{i} e_{i} & = \vec{o p} = \vec{o o^{'}} - \vec{p o^{'}} = \sum_{i} b_{i} e_{i} + \sum_{j} x_{j}^{'} e_{j}^{'} \\ = \sum_{i} b_{i} e_{i} + \sum_{j} x_{j}^{'} \sum_{i} a_{i j} e_{i} \\ = \sum_{i} (\sum_{j} a_{i j} x_{j}^{'} + b_{i}) e_{i}, \end{aligned} \end{matrix}

其中

a_{i j}

是

A

的矩阵元。上式翻译成矩阵语言就是：

\begin{matrix} (31) & x = A x^{'} + b . \end{matrix}

由于

A

必定可逆，则

\begin{matrix} (32) & x^{'} = A^{- 1} x - A^{- 1} b . \end{matrix}

证毕！

仿射空间

1. 仿射空间

定义 1 仿射空间

定义 2 平移空间

例 1

习题 1

2. 仿射空间的同构

定义 3 仿射映射，同构

定理 1

推论 1

定理 2

3. 坐标

定义 4 坐标系（坐标架）

定理 3

不同坐标系下坐标的转换关系

定理 4

定义 1　仿射空间

定义 2　平移空间

例 1　

习题 1　

定义 3　仿射映射，同构

定理 1　

推论 1　

定理 2　

定义 4　坐标系（坐标架）

定理 3　

定理 4　