贡献者： 零穹; addis
在任一矢量空间 $V$ 中，与零矢量 $0$ 结合在一起的坐标原点总是起着特殊的作用，因为在空间 $V$ 的所有到其自身的线性双射 $f:V\rightarrow V$ 下（这样的映射也称作矢量空间的自同构映射），零矢量 $0$ 是不变的（推论 1 ），这意味着坐标原点具有突出于其它空间点的性质。然而，对身处 3 维空间中的我们来说，放置在不同位置的点线面显然不依赖于一个挑选出来的坐标原点。因此，为了满足我们的需求，我们希望把矢量空间的自同构群加以扩展，使得所有的空间点都等价。完成这一任务的属于仿射空间。
1. 仿射空间
仿射空间的定义是基于矢量空间的。
定义 1 仿射空间
设 $V$ 是域 $\mathbb F$ 上的矢量空间。且 $\mathbb A$ 是一个集合，其元素称作点，并用 $\dot{p},\dot{q},\dot{r},\cdots$ 表示。称 $\mathbb A$（或 $(\mathbb A,V)$）是和 $V$ 相伴（连带的）的仿射空间，若给定笛卡尔积 $\mathbb A\times V$ 到 $\mathbb A$ 的映射（记该映射的像 $f(\dot p,v)$ 为 $\dot p+v$）：
\begin{equation}
f:(\dot p,v)\mapsto\dot p+v~.
\end{equation}
其具有性质：
-
\begin{equation}
\forall \dot p\in\mathbb A,\qquad
\forall u,v\in V\Rightarrow\dot p+0=\dot p, \qquad
(\dot p+u)+v=\dot p+(u+v)~.
\end{equation}
- $\forall \dot p,\dot q\in\mathbb A$，有且仅有一个矢量 $v\in V$ 使得 $\dot p+v=\dot q$。通常用 $\overrightarrow{pq}$ 或 $\dot q-\dot p$ 代表矢量 $v$。
并把 $V$ 的维数 $n$ 称为 $\mathbb A$ 的维数，有时记成 $\mathbb A^n$。
在定义中，用了 $\dot p+v$，这和矢量空间中的 $u+v$ 的＋号一样，但这并不会引起混淆。因为，一个是 $\mathbb A$ 中的点和 $V$ 中矢量的相作用，一个是 $V$ 中的两矢量相作用，当写出表达式时，“+” 两边的对象是已知的，就能立刻知道是哪种情况。
由仿射空间的定义，可推出下面两个性质（留做习题）：
- 每个点 $\dot p\in \mathbb A$ 都对应一个从 $V$ 到 $\mathbb A$ 的双射：
\begin{equation}
v\mapsto \dot p+v~.
\end{equation}
- 有 $\mathbb A\rightarrow\mathbb A$ 上的双射：
\begin{equation}
t_v:\dot p\mapsto\dot p+v~.
\end{equation}
\begin{equation}
t_u\cdot t_v=t_{u+v},\quad t_v\cdot t_{-v}=e~.
\end{equation}
定义 2 平移空间
令
\begin{equation}
\alpha t_u+\beta t_v:= t_{\alpha u+\beta v}~.
\end{equation}
则所有平移的集合构成一个矢量空间，称为
平移空间，记作 $\mathbb A^{\#}$.
例 1
由仿射空间的定义，试证明：
\begin{equation}
\overrightarrow{pq}+\overrightarrow{qr}=\overrightarrow{pr},\quad \overrightarrow{pq}=-\overrightarrow{qp},\quad\overrightarrow{pp}=0~.
\end{equation}
亦即
\begin{equation}
(\dot q-\dot p )+(\dot r-\dot q)=\dot r-\dot p,\quad(\dot q-\dot p)=-(\dot p-\dot q),\quad\dot p-\dot p=0~.
\end{equation}
习题 1
试证明：平移空间 $\mathbb A^{\#}$ 同构于矢量空间 $V$ 的加法群。
2. 仿射空间的同构
仿射空间的同构和一般的同构定义实质上相同，都是起说明两个集合结构相同的作用，即集合上元素之间运算，对应于另一集合对应元素之间的运算，这个 “对应” 是靠双射来完成的。
定义 3 仿射映射，同构
设 $\mathbb A,\mathbb A'$ 是同一域 $\mathbb F$ 上分别与矢量空间 $V,V'$ 相伴随的仿射空间。称映射
\begin{equation}
f:\mathbb A\rightarrow\mathbb A'~
\end{equation}
是个
仿射映射(或
线性仿射映射)，如果，所有的 $\dot p\in \mathbb A,v\in V$ 都满足
\begin{equation}
f(\dot p+v)=f(\dot p)+Df\cdot v~.
\end{equation}
其中，$Df:V\rightarrow V'$ 是矢量空间上的线性映射，称 $Df$ 是映射 $f$ 的
线性部分（或
微分）。若仿射映射 $f$ 为双射，则称 $\mathbb A$ 和 $\mathbb A'$ 是
同构的，若此外 $\mathbb A=\mathbb A'$，则称 $\mathbb A$ 借助 $f$ 实现
自同构。
定理 1
仿射映射
\begin{equation}
f:\mathbb A\rightarrow\mathbb A'~
\end{equation}
是双射，当且仅当线性部分
\begin{equation}
Df:V\rightarrow V'~
\end{equation}
是双射
证明：
1. $f\Rightarrow Df$
因为 $f$ 是双射，所以对 $v_1\neq v_2\Rightarrow \dot p+v_1\neq\dot p+v_2$，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(\dot p)+Df\cdot v_1=f(\dot p+v_1)&\neq f(\dot p+v_2)=f(\dot p)+Df\cdot v_2\\
&\Downarrow\\
Df\cdot v_1&\neq Df\cdot v_2~.
\end{aligned}
\end{equation}
这就证明了 $Df$ 的单射性。 $\forall v'\in V'$，对 $\forall f(\dot p)+v'$, $f$ 双射意味着 $\exists v$，使得
\begin{equation}
f(\dot p)+v'=f(\dot p+v)=f(\dot p)+Df\cdot v~.
\end{equation}
即 $v'=Df\cdot v$，这就证明了满射性。于是 $Df$ 双射得证。
2. $Df\Rightarrow f$
设 $\dot p\neq \dot q$，固定一点 $\dot o\in \mathbb A$，由仿射空间性质，$\exists \overrightarrow{op}\neq\overrightarrow{oq}\in V$，使得
\begin{equation}
\dot p=\dot o+\overrightarrow{op},\quad\dot q=\dot o+\overrightarrow{oq} ~.
\end{equation}
由 $Df$ 的单射性
\begin{equation}
\begin{aligned}
Df\cdot \overrightarrow{op}&\neq Df\cdot \overrightarrow{oq}~,\\
&\Downarrow\\
f(\dot p)=f(\dot o)+Df\cdot \overrightarrow{op}&\neq f(\dot o)+Df\cdot \overrightarrow{oq}=f(\dot q)~.
\end{aligned}
\end{equation}
即有 $f(\dot p)\neq f(\dot q)$，这就证明了 $f$ 的单射性。
$\forall \dot p'\in\mathbb A'$，同样 $\exists\overrightarrow{o'p'}\in V'$ 使得 $\dot p'=o'+\overrightarrow{o'p'}$，其中 $\dot o'=f(\dot o)$，由 $Df$ 的满射性，
\begin{equation}
\exists v\in V,\quad st.\; Df\cdot v=\overrightarrow{o'p'}~.
\end{equation}
于是
\begin{equation}
f(\dot o+v)=f(\dot o)+Df\cdot v=\dot o'+\overrightarrow{o'p'}=\dot p'~,
\end{equation}
这就证明了满射性。
\end{enumerate}
证毕！
推论 1
具有相同维数的仿射空间 $(\mathbb A,V),(\mathbb A',V')$ 必同构。
证明： 由于维数相同的矢量空间必同构，所以存在双射 $F:V\rightarrow V'$，令其作为 $Df$，由定理 1 ，即得证!
定理 2
任意仿射变换 $f:\mathbb E\rightarrow\mathbb E$，设其线性部分为 $\mathcal F$，则必有
\begin{equation}
f=t_a g~.
\end{equation}
其中 $t_a$ 是矢量 $a=\overrightarrow{of(o)}$ 对应的平移，$g$ 是一个在给定点 $\dot o$ 处保持不动的仿射变换。
现在，若将固定点改为 $\dot o'$，那么需取 $a'=a+(\mathcal F-\mathcal E)\overrightarrow{oo'}$ 来代替 $a$。
证明： 设 $V$ 是与空间 $\mathbb E$ 伴随的矢量空间，则 $\forall v\in V$，有
\begin{equation}
f(\dot o+v)=f(\dot o)+\mathcal F v=\dot o+\overrightarrow{of(o)}+\mathcal F v~.
\end{equation}
若令
\begin{equation}
g(\dot o+v)=\dot o+\mathcal F v,\quad a=\overrightarrow{of(o)}~,
\end{equation}
则
式 20 可写为
\begin{equation}
f(\dot o+v)=g(\dot o+v)+a=t_a g(\dot o+v)~.
\end{equation}
由于 $v$ 的任意性，故 $f=t_ag$。由，$g$ 显然对 $\dot o$ 不变。
当用固定点取 $\dot o'$，显然 $\overrightarrow{of(o)}$ 需用 $\overrightarrow{o'f(o')}$ 替换，而
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(\dot o')=f(\dot o)+\mathcal F \overrightarrow{oo'}\quad\Rightarrow \quad \dot o'+\overrightarrow{o'f(o')}&=\dot o+\overrightarrow{of(o)}+\mathcal F \overrightarrow{oo'}\\
&\Downarrow\\
\overrightarrow{o'f(o')}&=\overrightarrow{of(o)}+(\mathcal F-\mathcal E)\overrightarrow{oo'}~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意 $a=\overrightarrow{of(o)}$，并令 $a'=o'f(o')$，即得 $a'=a+(\mathcal F-\mathcal E)\overrightarrow{oo'}$。
证毕！
3. 坐标
定义 4 坐标系（坐标架）
称点 $\dot o\in\mathbb A$ 和 $V$ 的一个基底 $\{e_1,\cdots,e_n\}$ 的集合 $\{\dot o;e_1,\cdots,e_n\}$ 是 $n$ 维仿射空间 $(\mathbb A,V)$ 的一个坐标系（或坐标架）。矢量 $\overrightarrow{op}$ 在基底 ${e_i}$ 下
\begin{equation}
\overrightarrow{op}=\sum_{i=1}^n x_ie_i~
\end{equation}
的坐标就被认为是点 $\dot p$ 在坐标系 $\{\dot o;e_1,\cdots,e_n\}$ 之下的
坐标。
坐标系同样也可以用这样的 $n+1$ 个点 $\{\dot p_0;\dot p_1,\cdots,\dot p_n\}$ 给出，只要矢量 $\overrightarrow{p_0p_1},\cdots,\overrightarrow{p_0p_n}$ 构成空间 $V$ 的一个基底即可。
定理 3
设 $\{\dot p_0;\dot p_1,\cdots,\dot p_n\}$ 是空间 $V$ 的一个坐标系：
\begin{equation}
e_i:=\overrightarrow{p_0 p_i},\quad i=1,\cdots,n~.
\end{equation}
若 $\dot p,\dot q$ 在此坐标系中的坐标分别为 $x_1,\cdots,x_n$ 和 $y_1,\cdots,y_n$，那么：
- 矢量 $\overrightarrow{pq}$ 在此基底之下的坐标为 $y_1-x_1,\cdots,y_n-x_n$;
- 对任意矢量 $a=\sum\limits_{i=1}^n a_ie_i$，点 $\dot p+a$ 的坐标是 $x_1+a_1,\cdots,x_n+a_n$。
证明： 由：
\begin{equation}
\overrightarrow{pq}=\overrightarrow{pp_0}+\overrightarrow{p_0q}=\overrightarrow{p_0q}-\overrightarrow{p_0p}~.
\end{equation}
由矢量加法定义，即证得定理中的 1.
设 $\dot q=\dot p+a$，于是 $a=\overrightarrow{pq}$，结合式 26 ，有
\begin{equation}
a=\overrightarrow{p_0q}-\overrightarrow{p_0p}\Rightarrow \overrightarrow{p_0q}=a+\overrightarrow{p_0p}~.
\end{equation}
由矢量加法和点的坐标定义，即证得定理中的 2.
证毕！
不同坐标系下坐标的转换关系
定理 4
设 $\{\dot o;e_1,\cdots,e_n\},\{\dot o';e'_1,\cdots,e'_n\}$ 是仿射空间 $\mathbb A$ 中的两个坐标系。$\dot p,\dot o'$ 在前一坐标系下的坐标分别为 $x_1,\cdots,x_n$ 和 $b_1,\cdots,b_n$。则 $\dot p$ 在后一坐标系下的坐标 $x_i'$ 满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{x}} '= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{b}} ~.
\end{equation}
其中，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是前一坐标系到后一坐标系的转换矩阵。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{x}} =(x_1,\cdots,x_n)^T,\; \boldsymbol{\mathbf{x}} '=(x_1',\cdots,x_n')^T,\; \boldsymbol{\mathbf{b}} =(b_1,\cdots,b_n)^T~.
\end{equation}
证明：由
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sum_{i}x_ie_i&=\overrightarrow{op}=\overrightarrow{oo'}-\overrightarrow{po'}=\sum_{i}b_ie_i+\sum_{j}x'_je'_j\\
&=\sum_i b_ie_i+\sum_{j}x'_j\sum_{i}a_{ij}e_i\\
&=\sum_{i} \left(\sum_{j}a_{ij}x_j'+b_i \right) e_i~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $a_{ij}$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的矩阵元。上式翻译成矩阵语言就是：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} '+ \boldsymbol{\mathbf{b}} ~.
\end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 必定可逆，则
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{x}} '= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{b}} ~.
\end{equation}