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一维波动方程

预备知识 导数与差分, 平面波

横波

   我们假设有一根无限长的弦, 质量线密度为 $\lambda$, 弦的张力(即拉力)为 $T$, 弦静止时与 $x$ 轴重合. 假设 $t$ 时刻的波函数(即弦的形状)为 $y(x, t)$,且弦的振幅较小, 下面我们来求波函数所满足的微分方程, 称为一维波动方程

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图1:“微元法” 分析弦的波动

   我们用“微元法” 的思想, 把弦划分为许多小线段, 每段长度为 $h$, 质量为 $m_i = \lambda h$, 且质量都集中在左端的端点 $x_i$ 处. 下面我们来考察质点 $m_i$ 的受力情况(图 1 ). 令 $m_{i+1}$ 对 $m_i$ 的拉力方向与 $x$ 轴夹角为 $\theta$, 由于弦的波动较小, 可以认为 $\theta$ 很小, 这样来自 $m_{i+1}$ 的拉力的两个分量为

\begin{equation} \leftgroup{ F_x &= T\cos\theta \approx T\\ F_y &= T\sin\theta \approx T\tan\theta = T\frac{y(x_i+h) -y(x_i)}{h} }\end{equation}
同理, 来自 $m_{i-1}$ 的拉力的两个分量为
\begin{equation} \leftgroup{ F'_x &\approx -T\\ F'_y &\approx T\frac{y(x_i - h) -y(x_i)}{h} }\end{equation}
式 1 式 2 相加, 得 $m_i$ 受 $x$ 方向的合力为零, $y$ 方向的合力为
\begin{equation} F_y = T\frac{y(x_i+h) - 2y(x_i) + y(x_i-h)}{h} \end{equation}
结合牛顿定律, 并代入 $m_i = \lambda h$, 有
\begin{equation} \lambda \pdvTwo[2]{y}{t} = T\frac{y(x_i+h) - 2y(x_i) + y(x_i-h)}{h^2} \end{equation}
注意到 $h$ 很小, 由式 5 可得等式右边为 $T\pdvStarTwo[2]{y}{x}$. 于是我们得到波动方程为
\begin{equation} \pdvTwo[2]{y}{x} - \frac{1}{c^2}\pdvTwo[2]{y}{t} = 0 \end{equation}
其中
\begin{equation} c = \sqrt{\frac{T}{\lambda}} \end{equation}
我们稍后会看到 $c$ 就是波的速度1

   由于这个方程中未知函数 $y(x,t)$ 是一个多元函数, 且出现了偏微分, 我们把它叫做偏微分方程

纵波

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图2:一个常见的纵波模型

   以上弦模型中的波动显然是一个横波, 我们也可以建立一个纵波的模型. 如图 2 , 我们假设一条无限长的弹簧上的质量都集中于等间距的 $x_i$, 间距为 $h$. 若弹簧的平均线密度为 $\lambda$, 则每个质点的质量为 $m_i = \lambda h$. 为了描述弹簧的弹性, 我们令单位长度弹簧的弹性系数为 $k$, 则长为 $h$ 的一小段弹簧弹性系数为 $k/h$. 若用 $\xi_i$ 来描述 $m_i$ 在 $x$ 方向的位移, 我们可以列出 $m_i$ 的运动方程为

\begin{equation} \lambda h \pdvTwo[2]{\xi}{t} = F_i = \frac kh [\xi(x_i + h) - 2\xi(x_i) + \xi(x_i - h)] \end{equation}
同样利用式 5 得波动方程为
\begin{equation} \pdvTwo[2]{\xi}{x} - \frac{\lambda}{k}\pdvTwo[2]{\xi}{t} = 0 \end{equation}

方程的解


1. 有些教材也会把式 5 乘以 $-1$ 或者乘以 $c^2$, 导致读者分不清系数到底是 $1/c^2$ 还是 $c^2$. 一个简单的办法是看量纲, $\pdvStar{x}$ 的量纲是长度分之一, $\pdvStar{t}$ 是时间分之一, 而 $c$ 的量纲是速度(长度除以时间).

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