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线性代数导航

几何矢量

   高中数学和物理中最熟悉的矢量就是几何矢量,这里先回顾几何矢量(以下简称矢量)并引入一些新的概念.

   矢量的存在与坐标系无关,可以将其想象成空间中的一些有长度有方向的箭头.我们对它的位置不感兴趣,所有长度和方向相同的矢量都视为同一矢量.对于讨论问题的不同,我们有时仅需要处于同一平面(二维空间)的所有矢量,有时需要三维空间中的所有矢量,最简单的情况下只需要沿某条线(一维空间)的所有矢量(这时我们可以规定一个正方向,且仅使用矢量的模长加正负号来表示矢量以简化书写).

   矢量的一些基本运算 同样不需要有任何坐标系的概念,矢量相加按照三角形法则或平行四边形法则即可. 矢量数乘就是把矢量的模长乘以一个实数,若乘以正数,方向不变,若乘以负数,取相反方向. 矢量的线性组合是把若干矢量分别乘以一个实数再相加得到新的矢量.

   矢量的内积等于一个矢量在另一个矢量上的投影长度乘以另一个矢量的模长得到一个实数,矢量的模长等于矢量与自身内积再开方,把矢量除以自身模长使模长变为单位长度的过程叫做归一化.若两矢量内积为零,这两个矢量相互正交1

   两矢量叉乘得到的矢量垂直于两矢量,模长为一个矢量在另一个矢量垂直方向的投影长度乘以另一个矢量的模长.

   为了方便描述矢量之间的关系,我们选取一些线性无关的矢量作为所有几何矢量的基底,使空间中的任何矢量可以用这些基底的唯一一种线性组合来表示,$N$ 维空间需要 $N$ 个基底.一般来说,基底不必互相正交.我们先把这些基底排序,任意矢量表示成它们的线性组合时,把式中的 $N$ 个系数按照顺序排列,就是该矢量的坐标,通常用列矢量表示.由于线性组合的唯一性,每个矢量的坐标是唯一的.

   为了方便计算任意矢量的坐标,往往取正交归一的基底(所有基底模长为 1,任意两基底互相正交).这样,任意矢量的坐标都可以通过与基底的内积得到.

   我们可以设计一种规则把某个空间的任意矢量对应(映射)到另一个矢量,叫做变换2.如果对于某个变换,任意矢量线性组合的变换等于这些矢量分别进行该变换再线性组合,这个变换就是线性变换.在某组基底下,矢量的线性变换可以用其坐标的线性变换表示,并且可以写成矩阵与坐标列矢量相乘的形式. 旋转矩阵可以有两种理解,一是矢量绕某个轴相对于当前的正交归一基底转动,其坐标产生了变换,二是矢量本身没有变,只是其坐标在两个不同的正交归一基底中不同.这种矩阵的特点是所有列(行)矢量都正交归一,所以叫做单位正交阵.单位正交阵的特点是逆矩阵等于转置矩阵.

矢量微积分

   $N$ 维矢量可以作为一个或多个标量的函数(矢量函数),可以看成是 $N$ 个普通函数与矢量基底的数乘.矢量函数同样可以对其自变量求导(或求偏导),也可以积分.不同的是,矢量函数还可以进行曲线积分和面积分


1. 对于几何矢量,正交就是方向垂直,不加区分.
2. 更广义地,变换可以在不同的空间中进行,例如把一个三维空间中的矢量映射到一个二维空间中的矢量

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