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限制性三体问题

预备知识 开普勒问题

   在中心力场问题中,只需把质点质量 $m$ 和位矢 $\bvec r$ 分别替换成约化质量 $\mu M$ 和相对矢量 $\bvec R$ 即可将单质点中心力场问题的规律拓展到二体系统.

   在图 1 所示的惯性坐标系 $XOY$ 中,天体 A 和天体 B 距离为 $R$ ,质量分别为 $M_1$ 和 $M_2$,总质量为 $M$,原点 $0$ 为该二体系统的质心.记 $M_1=\mu M$,则 $M_2=(1-\mu)M$.由开普勒问题中的结论,可以推知,天体 A 和天体 B 的运动轨迹是坐标平面中两条相似的圆锥曲线.

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图1:限制性三体问题

   在图 1 的二体系统中再添加一个质点,其质量 $m$ 足够小,以至于该质点对原二体系统的影响可以忽略不计.在此条件下该系统的运动问题,称为限制性三体问题

   假设当前时刻,A、B 连线相对惯性坐标系的角速度为 $\omega$,与 $X$ 轴正方向夹角为 $\theta$.以 A、B 连线为 $x$ 轴建立旋转坐标系 $xOy$.记质点 C 在旋转系中的坐标为 $(x,y,z)$,在惯性系中的位置矢量为 $\bvec r$,两者有如下关系

\begin{equation}\bvec r= \begin{pmatrix} \cos\theta &-\sin\theta &0 \\ \sin\theta &\cos\theta &0 \\ 0 &0 &1 \\ \end{pmatrix} \pmat{x\\ y\\ z } \end{equation}

   将上式关于时间求导,可得

\begin{equation}\dot{\bvec r}=\pmat{\qtyRound{\dot{x}-\omega y}\cos\theta -\qtyRound{\omega x+\dot{y}}\sin\theta \\ \qtyRound{\dot{x}-\omega y}\sin\theta -\qtyRound{\omega x+\dot{y}}\cos\theta \\ \dot{z} } \end{equation}
于是,可求出质点的动能
\begin{equation}T=\frac{1}{2}m|\dot{\bvec r}|^2=\frac{1}{2}m\qtySquare{\qtyRound{\dot{x}-\omega y}^2+\qtyRound{\omega x+\dot{y}}^2+\dot{z}^2} \end{equation}

   记质点 C 与天体 A、B 的距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$,则质点 C 的引力势能可表达为

\begin{equation}\begin{aligned} U&=-\frac{\mu GMm}{r_1}-\frac{(1-\mu)GMm}{r_2}\\ &=-\frac{\mu GMm}{\sqrt{[x+(1-\mu)R]^2+y^2+z^2}}-\frac{(1-\mu)GMm}{\sqrt{(x-\mu R)^2+y^2+z^2}} \end{aligned} \end{equation}

   在惯性系中,质点 C 对坐标原点的角动量为

\begin{equation}\bvec L=m\bvec r \times \dot{\bvec r} \end{equation}
这里只考虑角动量在 $Z$ 轴方向上的分量
\begin{equation}\begin{aligned} L_z &= m \vmat{ x\cos\theta-y\sin\theta &{x\sin\theta+y\cos\theta}\\ \qtyRound{\dot{x}-\omega y}\cos\theta -\qtyRound{\omega x+\dot{y}}\sin\theta &{\qtyRound{\dot{x}-\omega y}\sin\theta -\qtyRound{\omega x+\dot{y}}\cos\theta } }\\ &=m\qtySquare{\omega \qtyRound{x^2+y^2}+x\dot{y}-\dot{x}y} \end{aligned} \end{equation}

   在没有外力或外力矩的情况下,三体系统的总角动量和总机械能守恒.由于先前假设质点 C 的引入不影响原二体系统的运动,因此在限制性三体问题中,天体 A 和天体 B 的机械能及角动量依旧守恒,于是质点 C 的机械能和角动量也守恒.

   以上的讨论中,并不限制天体 A 和天体 B 的距离 $R$ 和角速度 $\omega$ 在运动过程中为定值,换句话说,无论原二体系统的运动模式是何种圆锥曲线,以上的讨论都成立.

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