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共振

   如同讨论类氢原子中的那样,原子系统是存在能级的,从而可以用特定频率的光去激发,而这种行为也可以一般的描述为共振.Wikipedia 说

   In mechanical systems, resonance is a phenomenon that only occurs when the frequency at which a force is periodically applied is equal or nearly equal to one of the natural frequencies of the system on which it acts. This causes the system to oscillate with larger amplitude than when the force is applied at other frequencies.

   而对应到原子里面,这个 force 就是周期的电磁场,而 oscillation 则是原子在基态和激发态之间振荡.对应的,这个振荡不会仅仅发生在共振频率,其它频率也会存在振荡只不过振幅不如共振点大.那么,当频率偏离共振后,振幅的变化其实反映了这个共振的“好坏”:如果稍微偏离一点,振幅就大幅衰减,那么说明这个共振非常锐利而精确,几乎只发生在共振点,这样的共振我们说它有更高的“品质”.具体说来,我们用品质因数(quality factor)来定义:

\begin{align} Q = \frac{f}{\Delta f} \end{align}
其中,而 $f$ 是共振频率,$\Delta f$ 是共振的带宽(bandwidth),对于不同的共振线性有不同的定义1

   举一个例子:对于一般的室温原子气体,这个参数基本由室温的热运动造成的多普勒展宽决定.原子的能级一般在可见光波段,即 $f\sim 500$THz2.对应的,假如原子序数为 100,室温 $T=300$K,对应的最可几速率为 $\bar{v}=\sqrt{2k_BT/m}\sim300$m/s,从而对应了一个 $\Delta f=f\bar{v}/c\sim500\times10^{-6}$THz$=500$MHz 的展宽.这个对应了品质因子 $Q\sim10^6$.这个展宽一般大于常规原子能级的展宽(在 $10$MHz 量级),从而会把原子本身能级的性质掩盖掉.

   常见的品质好($Q > 100$)的共振有石英石的共振 $Q\sim10^4-10^6$,也就是说现在的石英表在一年里一般也就误差 $5-10$ 分钟量级,而机械表就要差一个档次了,很可能到一个小时.此外,人工制造的微观结构,比如回音壁腔,能达到 $10^9$ 的品质因子,是目前人类构造出的最高的品质因子层级.而地球自转的品质因子在 $10^7$ 水平,脉冲星自转的 $Q$ 在 $10^{10}$ 水平.这种精度实际上让人们第一次的间接的认识到了引力波,因为脉冲星释放了引力波,释放了能量,其自转速度开始下降.由于它超高的品质因数,只要频率相对下降 $10^{-10}$ 这么多就能够从频谱上看到明显变化.当然,这种随着时间变化的频谱不具有可重复性,也就没办法用来作为频率标准.

   共振有不同的线型.刚才说的热展宽,由于原子速度是玻尔兹曼分布,所以是 Gaussian 线型;而原子自己的能级则是 Lorentzian 线型,它对应于谐振子的阻尼振荡,其中幅频关系式 5

\begin{align} A = \frac{B}{\sqrt{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 m^2 + \alpha^2\omega^2}} \end{align}
而对应的能量,或者说是系统的响应,$E\propto A^2$,在 $Q\sim\omega_0/\gamma\gg1$ 的情况下可以近似满足
\begin{align} E = \frac{C}{\Delta\omega^2 + \gamma^2/4}. \end{align}

   接下来,我们讨论对一个这种高 $Q$ 阻尼振荡里面,频率的测量到底能有多精准.这个问题之所以重要是因为当今最准确的测量就是对于频率的测量,所以这个问题的讨论实际上对应于我们对于物理量的测量到底能精确到什么程度.当然,这个问题最最直接的回答是由 Fourier 定理保证的,$\Delta t\Delta \omega\ge1/2$.这个形式与 Heisenberg 不确定性原理非常像,其原因之一就是量子力学的量子态是有其波动内涵的.然而这个回答是非常微妙的,因为对于 $\Delta\omega$ 的定义其实并不明确.

   考虑一个经典系统,给定初始条件,它的振荡是有阻尼且有噪音的,具体波形是 $x=x_0(1+\epsilon) \cos\left(\omega t\right) e^{-\gamma t}$,其中 $\epsilon\in[-r,r]$ 是随机参数,$r < 1$ 是随机强度,代表信噪比的倒数.考虑我们有采样率 2000$s^{-1}$ 的信号,$\omega=2\pi\times447$Hz, $\gamma=2\pi\times1$Hz,接下来的几幅图则展示了不同的信噪比,$\Delta t$,在相同 $\gamma, \omega$ 下的频谱.


1. 比如,对于 Lorentzian 这种有无限大的方差的线型来说就是半高全宽(Full Width at Half Maximum, FWHM),而对于 Gaussian 线型来说就是它的标准差.
2. 在此后的讨论中,频率统一由 $f=\cdots$Hz 这种形式表示,而对应的角频率$\omega=2\pi\times\cdots$Hz 来表示,两个 $\cdots$ 是一样的.

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