图

动量 动量定理(单个质点)

预备知识 牛顿第二定律

   令质点质量为 $m$,速度为 $\bvec v$,定义其动量

\begin{equation} \bvec p = m\bvec v \end{equation}
注意动量是矢量,与速度(矢量)的方向相同,且取决于坐标系.

   现在把动量和速度都看做时间的函数. 等式两边求导,速度对时间的导数等于加速度 $\bvec a$

\begin{equation} \dvTwo{\bvec p}{t} = m \dvTwo{\bvec v}{t} = m\bvec a \end{equation}
根据牛顿第二定律,$m\bvec a$ 等于质点所受合外力 $\bvec F$ (注意力和加速度也都是时间的函数),所以
\begin{equation} \dvTwo{\bvec p}{t} = \bvec F \end{equation}
这就是动量定理的微分形式,即动量的变化率等于合外力.也可以写成微分形式
\begin{equation} \dd{\bvec p} = \bvec F \dd{t} \end{equation}
即微小时间内的动量变化等于力乘以微小时间.

   现在用定积分 中的微元思想考虑动量从时刻 $t_1$ 到 $t_2$ 的总变化,我们可以把这段时间划分为 $N$ 段微小时间,第 $i$ 段所在的时刻记为 $t_i$,每小段时间内 $\bvec F$ 可认为是恒力 $\bvec F(t_i)$

\begin{equation} \bvec p(t_2)-\bvec p(t_1) = \sum_{i=1}^{N} \Delta\bvec p_i= \sum_{i=1}^{N} \bvec F(t_i) \Delta t_i \end{equation}
当 $N\to\infty, \Delta t\to 0$ 时该式可以用定积分(矢量函数)表示1
\begin{equation} \bvec p(t_2)-\bvec p(t_1) = \int_{t_1}^{t_2}\bvec F(t) \dd{t} \end{equation}
这是动量定理的积分形式.特殊地,对于恒力 $\bvec F$,右边的积分等于 $(t_2-t_1)\bvec F$.


1. 通常省略以上的推导而直接表达为“式 4 两边定积分得到式 6

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