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动量 动量定理(单个质点)

         

预备知识 牛顿第二定律

   令质点质量为 $m$,速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,定义其动量

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
注意动量是矢量,与速度(矢量)的方向相同,且取决于坐标系.

   现在把动量和速度都看做时间的函数. 等式两边求导,速度对时间的导数等于加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\mathrm{d}{t}} = m \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} \end{equation}
根据牛顿第二定律,$m \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 等于质点所受合外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ (注意力和加速度也都是时间的函数),所以
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \end{equation}
这就是动量定理,即动量的变化率等于合外力. 在牛顿力学中, 动量定理和牛顿第二定律是完全等效的.

   动量定理也可以写成微分形式

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
也就是在极微小时间内的动量变化等于力乘以这段时间.

   现在用定积分 中的微元思想考虑动量从时刻 $t_1$ 到 $t_2$ 的总变化,我们可以把这段时间划分为 $N$ 段微小时间,第 $i$ 段所在的时刻记为 $t_i$,每小段时间内 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 可认为是恒力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} (t_i)$

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} (t_2)- \boldsymbol{\mathbf{p}} (t_1) = \sum_{i=1}^{N} \Delta \boldsymbol{\mathbf{p}} _i= \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{\mathbf{F}} (t_i) \Delta t_i \end{equation}
当 $N\to\infty, \Delta t\to 0$ 时该式可以用定积分(矢量函数)表示1
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} (t_2)- \boldsymbol{\mathbf{p}} (t_1) = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{\mathbf{F}} (t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
这是动量定理的积分形式.特殊地,对于恒力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $,右边的积分等于 $(t_2-t_1) \boldsymbol{\mathbf{F}} $, 上式记为
\begin{equation} \Delta \boldsymbol{\mathbf{p}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \Delta t \end{equation}


1. 通常省略以上的推导而直接表达为 “式 4 两边定积分得到式 6

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