图

矩阵的本征方程

预备知识 线性方程组与矢量空间

   若已知矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $, 我们把线性方程组

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
称为矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征方程. 通常 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是已知的, 而 $\lambda$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是未知的. 显然, 当 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 时方程恒成立, 所以我们通常只对非零解感兴趣. 也就是说, 我们希望找到一些非零矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $, 使得矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 乘以该矢量以后方向不变1. 对于每个这样的矢量, 我们用一个标量 $\lambda$ 来描述其模长的改变. 我们把这些矢量叫做本征矢量, 把对应的 $\lambda$ 叫做本征值

   若令 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 为 $N\times N$ 的单位矩阵2, 则本征方程本质上是一个齐次方程组

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} - \lambda \boldsymbol{\mathbf{I}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
括号中的矩阵相当于把矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的对角线上的元都减去 $\lambda$ 得到的方阵. 要确保方程有非零解, 只需令系数行列式为零, 即
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} - \lambda \boldsymbol{\mathbf{I}} \right\rvert = 0 \end{equation}
这是一个关于 $\lambda$ 的 $N$ 阶多项式, 必有 $N$ 个复数根(包括重根), 记为 $\lambda_i$ ($i = 1, 2\dots N$). 将它们依次带入式 2 , 就可以分别解出对应的本征矢. 考虑到式 2 是一个齐次方程, 所以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} - \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 的零空间中所有矢量都是本征矢, 且零空间至少是一维的.


1. “方向” 只是从几何矢量中沿用过来的一个习惯说法, 注意式 1 中的所有量都可以是复数. 两个矢量方向相同意味着一个矢量乘以标量可以得到另一个.
2. 即对角线上的元为 1, 其他元为 0, 见“矩阵

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