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氢原子波函数分析

预备知识 库仑波函数

光电子动量谱

   在计算类氢原子广电离时, 当外场消失后, 每个能量本征态(散射态)的概率就固定不变了. 然而动量的本征态系数还是会变(除非时间无穷大). 要得到时间无穷大时电子的三维动量分布, 我们可以直接将波函数投影到库仑波函数(渐进平面波)上. 事实上这样的动量谱通常被称为 angular resolved energy spectrum (毕竟是能量的本征态), 为了方便我们还是直接叫做动量谱.

\begin{equation} P(\bvec k) = \abs{f(\bvec k)}^2 = \abs{\braketTwo{\Psi^{(-)}_{\bvec k}}{\Psi(\bvec r)}}^2 \end{equation}
归一化为
\begin{equation} \int P(\bvec k) \dd[3]{k} = \iint P(\bvec k) \dd{\Omega} \cdot k^2\dd{k} = 1 \end{equation}

   那么被电离的光电子(PE 或 photo-electron) 的能量谱如何计算呢? 先看动量大小的分布, 归一化为

\begin{equation} \int_0^\infty P(k) \dd{k} = 1 \end{equation}
能量分布归一化为
\begin{equation} \int P(E) \dd{E} = \int P(E) k\dd{k} = 1 \end{equation}
二者的关系为 $P(k) = kP(E)$.

   我们只需要把总波函数投影到动量绝对值为 $k$ 的子空间上即可. 对比以上几式得

\begin{equation} P(k) = k^2 \int P(\bvec k) \dd{\Omega} \end{equation}

   但是类氢原子的波函数一般在球坐标中进行, 我们试图直接用(径向)库仑函数来计算. 将波函数投影到归一化得库仑球面波式 7

\begin{equation} P(l, m, k) = \abs{f_{l,m}(k)}^2 \end{equation}
其中
\begin{equation} f_{l,m}(k) = \braketTwo{C_{l,m}(k)}{\Psi(\bvec r)} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int F_l(k, r) \psi_{l,m}(r) \dd{r} \end{equation}
其中 $\psi_{l,m}(r)$ 是 scaled 的径向波函数式 1

   归一化为1

\begin{equation} \sum_{l,m} \int P(l, m, k) \dd{k} = 0 \end{equation}
对比式 3 式 4
\begin{equation} P(k) = \sum_{l,m} P(l, m, k) = \frac{2}{\pi} \sum_{l,m} \abs{\int F_l(k, r) \psi_{l,m}(r) \dd{r}}^2 \end{equation}
虽然这个公式看起来只包括了径向动能的分布, 但实际上也有角向的动能, 体现在 $l$ 量子数里面2


1. 为什么对 $k$ 得积分没有 $k^2$ 项? 这取决有库伦球面波得归一化式 8
2. 想一下库仑函数的微分方程中 $l$ 是如何决定角向动能的? 注意与 $m$ 无关.

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