图

高斯积分

预备知识 极坐标中的二重积分

   以下定积分被定义为高斯积分

\begin{equation} I = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   求解高斯积分最简单的方法是在极坐标中求解以下面积分

\begin{equation} I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-y^2} \,\mathrm{d}{y} =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-(x^2 + y^2)} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
在极坐标系中, $r^2 = x^2 + y^2$, 上式变为
\begin{equation} I^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-r^2} r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} = 2\pi \int_0^{+\infty} r \mathrm{e} ^{-r^2} \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
用换元积分法, 令 $t = r^2$, $ \,\mathrm{d}{t} = 2r \,\mathrm{d}{r} $, 得
\begin{equation} I^2 = \pi \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = \pi \left. (- \mathrm{e} ^{-t}) \right\rvert _0^{+\infty} = \pi \end{equation}
最后开方即可得到高斯积分为
\begin{equation} I = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\pi} \end{equation}

   更一般地, 由换元积分法式 5 可得

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-a x^2} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{equation}

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