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二元函数的极值

预备知识 导数与函数极值, 方向导数

   类似一元函数, 二元函数的极值与其偏导数密切相关. 以下讨论中, 我们假设在某区域内二元函数的一阶偏导处处存在(即函数曲面处处光滑). 如果二元函数 $f(x,y)$ 在某点 $(x_i, y_i)$ 处对 $x, y$ 的偏导数都为零, 那么 $(x_i, y_i)$ 就叫做函数 $f(x,y)$ 的驻点. 根据式 9 , 驻点处各个方向的方向导数也都为零.

   我们先来定义二元函数的极值点, 以驻点为圆心在 $xy$ 平面上作一个圆形区域, 若当半径足够小时, $f(x_i, y_i)$ 是该圆形区域的最大值或最小值, 那么该驻点就是极大值点或极小值点. 与一元函数类似, 驻点不一定是极值点. 例如 $f(x,y) = xy$ 在坐标原点的两个一阶偏导都为零, 但原点并不是极值点. 为了判断驻点是不是极值点, 也需要用到二阶偏导(假设驻点处的各个二阶偏导都存在). 如果满足

\begin{equation} \pdvTwo[2]{f}{x}\pdvTwo[2]{f}{y} - \qtyRound{\pdvThree{f}{x}{y}}^2 > 0 \end{equation}
则驻点是极值点. 如果 $\pdvStarTwo[2]{f}{x}$ 和 $\pdvStarTwo[2]{f}{y}$ 都大于零1, 则极值为极小值, 若都小于零, 则极值为极大值.

证明

   类比一元函数的证明, 要证明二元函数的某点是极值点, 就要证明该点的任意二阶方向导数都大于零或都小于零2. 令某方向为 $\uvec n = \uvec x \cos\theta + \uvec y \sin\theta$, 由式 9 得该方向的方向导数为

\begin{equation} \qtyRound{\cos\theta\pdv{x} + \sin\theta\pdv{y}} f \end{equation}
再次求方向导数得二阶方向导数为
\begin{equation} \qtyRound{\cos\theta\pdv{x} + \sin\theta\pdv{y}}^2 f = \pdvTwo[2]{f}{x} \cos^2\theta + 2\pdvThree{f}{x}{y} \sin\theta\cos\theta + \pdvTwo[2]{f}{y} \sin^2\theta \end{equation}
如果你还不习惯看算符的平方, 可以把上式的括号项平方看做两个括号项, 依次作用在函数上. 以极小值为例, 令上式恒大于零, 并除以 $\cos^2\theta$ 得
\begin{equation} \pdvTwo[2]{f}{y} \tan^2\theta + 2\pdvThree{f}{x}{y} \tan\theta + \pdvTwo[2]{f}{x} > 0 \end{equation}
上式左边是关于 $\tan\theta$ 的二次函数, 若要恒大于零, 则二次项系数要大于零, 且判别式需小于零, 立即可得式 1 . 同理可得极大值条件.


1. 根据式 1 , 只需验证 $\pdvStarTwo[2]{f}{x}$ 或 $\pdvStarTwo[2]{f}{y}$ 中的任意一个大于零, 另外一个就必定大于零.
2. 否则延一个方向前进函数值会越来越大, 而延另一个方向前进函数值会越来越小, 这个点就不是极值点

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