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矢量叉乘分配律的几何证明

预备知识 矢量的叉乘

   证明 $\bvec A \cross (\bvec B + \bvec C) = \bvec A \cross \bvec B + \bvec A \cross \bvec C$

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图1:把 $\bvec B,\bvec C,\bvec D$ 投影到与 $\bvec A$ 垂直的平面上

   首先令

\begin{equation} \bvec D = \bvec B + \bvec C \end{equation}
把矢量 $\bvec B,\bvec C,\bvec D$ 在与矢量 $\bvec A$ 垂直的平面上投影,分别得到 $\bvec B',\bvec C',\bvec D'$. 显然,$\bvec D'=\bvec B'+\bvec C'$.

   现在先证明

\begin{equation} \bvec A \cross \bvec B = \bvec A \cross \bvec B' \end{equation}
这是叉乘的一个基本的性质.首先, 根据叉乘的几何定义, $\bvec A \cross \bvec B$ 与 $\bvec A \cross \bvec B'$ 的方向相同.另外
\begin{equation} \abs{\bvec A \cross \bvec B} = \abs{\bvec A} \abs{\bvec B} \sin{\theta_{AB}} = \abs{\bvec A} \abs{\bvec B'}=\abs{\bvec A \cross \bvec B'} \end{equation}
所以二者模长也相等,证毕.

   同理有

\begin{equation} \bvec A \cross \bvec C = \bvec A \cross \bvec C' \end{equation}
\begin{equation} \bvec A \cross \bvec D = \bvec A \cross \bvec D' \end{equation}
所以,要证明
\begin{equation} \bvec A \cross \bvec D = \bvec A \cross \bvec B + \bvec A \cross \bvec C \end{equation}
只需要证明
\begin{equation} \bvec A \cross \bvec D' = \bvec A \cross \bvec B' + \bvec A \cross \bvec C' \end{equation}
即可.

   由于 $\bvec B', \bvec C', \bvec D'$ 都与 $\bvec A$ 垂直,所以 $\bvec A$ 与之叉乘的效果相当于 $\bvec B', \bvec C', \bvec D'$ 的模长分别乘以 $\abs {\bvec A}$, 且绕 $\bvec A$ 逆时针分别旋转 $90°$. 所以上式就是在说,“ $\bvec D'$ 乘以 $\abs{\bvec A} $ 旋转 90°”和“ $\bvec B'$ 与 $\bvec C'$ 分别乘以 $\abs{\bvec A}$ 旋转 90°再相加”结果相同,而这显然成立. 证毕.

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