图

矢量叉乘分配律的几何证明

预备知识 矢量的叉乘

   证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} $

图
图1:把 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{C}} , \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 投影到与 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 垂直的平面上

   首先令

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{D}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} \end{equation}
把矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{C}} , \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 在与矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 垂直的平面上投影,分别得到 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ', \boldsymbol{\mathbf{C}} ', \boldsymbol{\mathbf{D}} '$. 显然,$ \boldsymbol{\mathbf{D}} '= \boldsymbol{\mathbf{B}} '+ \boldsymbol{\mathbf{C}} '$.

   现在先证明

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ' \end{equation}
这是叉乘的一个基本的性质.首先, 根据叉乘的几何定义, $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} '$ 的方向相同.另外
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \sin{\theta_{AB}} = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} ' \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ' \right\rvert \end{equation}
所以二者模长也相等,证毕.

   同理有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ' \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{D}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{D}} ' \end{equation}
所以,要证明
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{D}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \end{equation}
只需要证明
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{D}} ' = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ' + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ' \end{equation}
即可.

   由于 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ', \boldsymbol{\mathbf{C}} ', \boldsymbol{\mathbf{D}} '$ 都与 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 垂直,所以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与之叉乘的效果相当于 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ', \boldsymbol{\mathbf{C}} ', \boldsymbol{\mathbf{D}} '$ 的模长分别乘以 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert $, 且绕 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 逆时针分别旋转 $90°$. 所以上式就是在说, 若已知 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ' + \boldsymbol{\mathbf{C}} ' = \boldsymbol{\mathbf{D}} '$, 那么把它们分别乘以常数并旋转 $90°$ 后这个加法仍然成立. 这是显然的. 证毕.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利