von Neumann 熵

贡献者： certain_pineapple; addis

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预备知识　密度矩阵

　　¹ von Neumann 熵的形式来自于 Shannon 熵。

1. von Neumann 熵和量子相对熵

定义 1　von Neumann 熵

　　对于一个给定的密度矩阵，von Neumann 熵 $S (ρ)$ 的定义为：

\begin{matrix} (1) & S (ρ) = tr (- ρ \log ρ) . \end{matrix}

　　如果 ${λ_{1}, λ_{2}, \dots λ_{N}}$ 是 $ρ$ 的本征值，那么：

\begin{matrix} (2) & S (ρ) = \sum_{i}^{N} λ_{i} \log λ_{i} . \end{matrix}

　　上式中应注意我们定义 $0 \log 0 = 0$ 来规避发散。

　　值得注意的是，定义 1 中 von Neumann 熵的底数并未指明，在某些文献中底数被定义为 $2$ ，在某些文献中底数则被定义为 $e$ ，请读者在阅读相关文献时自行判断，在大多数情况下两者并无任何本质区别，仅仅相差一个倍数，所以我们仅在涉及到 von Neumann 熵的具体数值的时候，比如讨论纠缠熵的连续性时指明底数。

　　 von Neumann 度量了一个混态的密度矩阵的 “混乱程度”，正如约化密度矩阵中提到，如果一个大系统的纯态对其中的某一个子系统取偏迹，同时如果得到了一个混态而非纯态，那么代表该子系统与剩余部分存在纠缠，这时求完偏迹的密度矩阵的 von Neumann 熵就给出了一个度量纠缠的方法，这既是其纠缠熵名字的由来。

量子相对熵

　　量子相对熵类似于经典相对熵， $ρ$ 到 $σ$ 的量子相对熵定义为：

\begin{matrix} (3) & S (ρ | | σ) = tr (ρ \log ρ) - tr (ρ \log σ) . \end{matrix}

　　接下来我们证明 Klein 不等式，也就是量子相对熵非负：

\begin{matrix} (4) & S (ρ | | σ) ⩾ 0 . \end{matrix}

　　假设 $ρ = \sum_{i} p_{i} | u_{i} ⟩ ⟨ u_{i} |$ ， $σ = \sum_{j} q_{j} | v_{j} ⟩ ⟨ v_{j} |$ 。

　　带入量子相对熵的表达式：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} S (ρ | | σ) & = \sum_{k} ⟨ u_{k} | (\sum_{i} p_{i} | u_{i} ⟩ ⟨ u_{i} | \sum_{j} \log p_{j} | u_{j} ⟩ ⟨ u_{j} | - \sum_{i} p_{i} | u_{i} ⟩ ⟨ u_{i} | \sum_{j} \log q_{j} | v_{j} ⟩ ⟨ v_{j} |) | u_{k} ⟩ \\ = \sum_{i, j, k} (δ_{i k} δ_{i j} δ_{j k} p_{i} \log p_{j} - δ_{i k} p_{i} ⟨ u_{i} | v_{j} ⟩ ⟨ v_{j} | u_{k} ⟩ \log q_{j}) \\ = \sum_{i} (p_{i} \log p_{i} - \sum_{j} p_{i} ⟨ u_{i} | v_{j} ⟩ ⟨ v_{j} | u_{i} ⟩ \log q_{j}) \\ = \sum_{i} (p_{i} \log p_{i} - \sum_{j} p_{i} {| ⟨ u_{i} | v_{j} ⟩ |}^{2} \log q_{j}) \\ = \sum_{i} p_{i} (\log p_{i} - \sum_{j} P_{i j} \log q_{j}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　其中 $P_{i j} = {| ⟨ u_{i} | v_{j} ⟩ |}^{2} ⩾ 0$ 。易得 $\sum_{i} P_{i j} = \sum_{j} P_{i j} = 1$ （ $u_{i}$ 在另一组标准正交基 ${v_{j}}$ 下展开系数模方和为 1）。

　　考虑对数函数的凹凸性，则 $\sum_{j} P_{i j} \log q_{j} ⩽ \log (\sum_{j} P_{i j} q_{j}) = \log (r_{i})$ 。当且仅当 $P$ 矩阵为置换阵时，不等式取等号。

　　且 $\sum_{i} r_{i} = \sum_{i j} P_{i j} q_{j} = \sum_{j} q_{j} = 1$ ，即 ${r_{i}}$ 可视作一概率分布。

　　则有：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} S (ρ | | σ) & = \sum_{i} p_{i} (\log p_{i} - \sum_{j} P_{i j} \log q_{j}) \\ ⩾ \sum_{i} p_{i} (\log p_{i} - \log r_{i}) \\ = \sum_{i} p_{i} \log \frac{p_{i}}{r_{i}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　可以看出式 6 最后的形式是概率分布 ${p_{i}}$ 对概率分布 ${r_{i}}$ 的经典相对熵，由经典相对熵的非负性有 $\sum_{i} p_{i} \log \frac{p_{i}}{r_{i}} ⩾ 0$ 。

　　则 $S (ρ | | σ) ⩾ 0$ 。由此我们证明了量子相对熵是非负的。

2. von Neumann 熵的性质

　　 von Neumann 熵有以下几条性质：

纯态密度矩阵的 von Neumann 熵为 0

　　密度矩阵 $ρ$ 的 von Neumann 熵当且仅当 $ρ$ 表示纯态时为 0。我们在定义量子态的 von Neumann 熵时定义 1 ，规定了 $0 \log 0 = 0$ ，纯态在计算 von Neumann 熵时仅会出现 $1 \log 1$ 和 $0 \log 0$ 项，均为 0，则纯态的纠缠熵也为 0。

von Neumann 熵存在上限

　　 von Neumann 熵存在上限， $d$ 维的希尔伯特空间中的量子态的 von Neumann 熵的最大值为为 $\log d$ ，当且仅当 $ρ = \frac{1}{d} I$ 时取到最大值。

　　对于这个上限的证明并不复杂，得益于我们已经在前文中证明了量子相对熵非负，所以我们仅需要计算一个量子态与 $\frac{1}{d} I$ 之间的量子相对熵即可。

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} S (ρ | | \frac{1}{d} I) & = tr (ρ \log ρ) - tr (ρ \log (\frac{1}{d} I)) \\ = - S (ρ) + \log d tr (ρ) \\ = \log d - S (ρ) \\ ⩾ 0 \end{aligned} \end{matrix}

　　所以我们可以得到 $S (ρ) ⩽ \log d$

纯态在两个子区域上的约化密度矩阵的 von Neumann 熵相等

　　如果复合系统 $A B$ 总体处于纯态， $ρ_{A}$ 和 $ρ_{B}$ 分别为其在 $A$ 区域和在 $B$ 区域分别的约化密度矩阵，那么其 von Neumann 熵相等。

　　对于定义在 $A B$ 两区域上的纯态 $| ψ ⟩$ ，我们取维数较大的 $N$ 维子空间称为空间 $A$ ，我们总可以取 $A$ 区域的一组正交基将其展开，写成： $| ψ ⟩ = \sum_{i}^{N} | a_{i} ⟩ | u_{i} ⟩ = (\begin{matrix} | a_{1} ⟩ & | a_{2} ⟩ & \dots & | a_{N} ⟩ \end{matrix}) (\begin{matrix} | u_{1} ⟩ \\ | u_{2} ⟩ \\ ⋮ \\ | u_{M} ⟩ \end{matrix}) .$ 上式中 ${| a_{i} ⟩}$ 是 $A$ 区域上的一组正交归一基矢量，而 ${| u_{i} ⟩}$ 则是一组定义在 $B$ 区域上的，不一定正交也不一定归一的矢量。而我们总可以通过 ${| u_{i} ⟩}$ 来张成一个 $N$ 维线性空间（如果矢量不足 $N$ 个，则需引入额外的基矢量来补足），我们将这组新的基地记作 ${| b_{i} ⟩}$ 。则存在 $N \times N$ 的 $A$ 矩阵，使得： $(\begin{matrix} | u_{1} ⟩ \\ | u_{2} ⟩ \\ ⋮ \\ | u_{N} ⟩ \end{matrix}) = A (\begin{matrix} | b_{1} ⟩ \\ | b_{2} ⟩ \\ ⋮ \\ | b_{N} ⟩ \end{matrix}) .$ 因此有： $| ψ ⟩ = (\begin{matrix} | a_{1} ⟩ & | a_{2} ⟩ & \dots & | a_{N} ⟩ \end{matrix}) A (\begin{matrix} | b_{1} ⟩ \\ | b_{2} ⟩ \\ ⋮ \\ | b_{N} ⟩ \end{matrix}) .$ 考虑矩阵 $A$ 的奇异值分解， $A = U Σ D^{†}$ ，其中， $U$ 和 $D$ 为幺正矩阵，而 $Σ$ 为半正定对角矩阵，则有： $| ψ ⟩ = (\begin{matrix} | a_{1} ⟩ & | a_{2} ⟩ & \dots & | a_{N} ⟩ \end{matrix}) U Σ D^{†} (\begin{matrix} | b_{1} ⟩ \\ | b_{2} ⟩ \\ ⋮ \\ | b_{N} ⟩ \end{matrix}) .$ 由于 $U$ 和 $D$ 的幺正特性，则其于原本的标准正交基相乘之后得到的仍然是一组标准正交基，即 $(\begin{matrix} | {\tilde{a}}_{1} ⟩ & | {\tilde{a}}_{2} ⟩ & \dots & | {\tilde{a}}_{N} ⟩ \end{matrix}) = (\begin{matrix} | a_{1} ⟩ & | a_{2} ⟩ & \dots & | a_{N} ⟩ \end{matrix}) U$ 和 $(\begin{matrix} | {\tilde{b}}_{1} ⟩ & | {\tilde{b}}_{2} ⟩ & \dots & | {\tilde{b}}_{N} ⟩ \end{matrix}) = (\begin{matrix} | b_{1} ⟩ & | b_{2} ⟩ & \dots & | b_{N} ⟩ \end{matrix}) D$ 都是标准正交基，那么我们记 $Σ$ 的第 $i$ 个对角元是 $σ_{i}$ ，那么我们则可以写出： $| ψ ⟩ = \sum_{i} σ_{i} | {\tilde{a}}_{i} ⟩ | {\tilde{b}}_{i} ⟩ .$ 写道这里已经很容易看到， $| ψ ⟩$ 在以 ${| {\tilde{a}}_{i} ⟩}$ 和 ${| {\tilde{b}}_{i} ⟩}$ 为基矢分别求取约化密度矩阵时，得到的是相同的对角矩阵的形式，因此自然 von Neumann 熵也相同。

加和的密度矩阵的 von Neumann 熵

　　若 ${p_{i}}$ 是概率分布，而 $ρ_{i}$ 位于相互正交的空间上，那么有： $S (\sum_{i} p_{i} ρ_{i}) = \sum_{i} p_{i} S (ρ_{i}) - \sum_{i} p_{i} \log p_{i} .$

　　由于 $ρ_{i}$ 都是位于相互正交的空间上，所以其均是相互对易的，可同时对角化的，记 $ρ_{i}$ 的第 $j$ 个本征值为 $λ_{i}^{j}$ ，有 $\sum_{j} λ_{i}^{j} = 1$ ，同时由于 $\sum_{i} p_{i} = 1$ ，则 $\sum_{i j} p_{i} λ_{i}^{j} = 1$ ，则事实上， $\sum_{i} p_{i} ρ_{i}$ 实际上得到了一个本征值为 $p_{i} λ_{i}^{j}$ （i，j 任意取值）的密度矩阵，所以有：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} S (\sum_{i} p_{i} ρ_{i}) & = - \sum_{i, j} p_{i} λ_{i}^{j} \log (p_{i} λ_{i}^{j}) \\ = - \sum_{i, j} p_{i} λ_{i}^{j} \log p_{i} - \sum_{i, j} p_{i} λ_{i}^{j} \log λ_{i}^{j} \\ = - \sum_{i} p_{i} \log p_{i} - \sum_{i} p_{i} \sum_{j} λ_{i}^{j} \log λ_{i}^{j} \\ = \sum_{i} p_{i} S (ρ_{i}) - \sum_{i} p_{i} \log p_{i} . \end{aligned} \end{matrix}

直积态的 von Neumann 熵

　　对于 $ρ$ 和 $σ$ 的直积态 $ρ \otimes σ$ ，其纠缠熵为 $S (ρ \otimes σ) = S (ρ) + S (σ)$ 。

　　假设 $ρ$ 的本征值为 $λ_{i}^{1}, i \in {1, 2, \dots N^{1}}$ ， $σ$ 的本征值为 $λ_{i}^{2}, i \in {1, 2, \dots N^{2}}$ 。那么直积态 $ρ \otimes σ$ 的本征值就为 $λ_{i}^{1} λ_{j}^{2}, i \in {1, 2, \dots N^{1}}, j \in {1, 2, \dots N^{2}}$ 共 $N^{1} \times N^{2}$ 个本征值。

　　那么类似上一条性质的，我们有:

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} S (ρ \otimes σ) & = - \sum_{i, j} λ_{i}^{1} λ_{j}^{2} \log λ_{i}^{1} λ_{j}^{2} \\ = - \sum_{i, j} λ_{i}^{1} λ_{j}^{2} \log λ_{i}^{1} - \sum_{i, j} λ_{i}^{1} λ_{j}^{2} \log λ_{j}^{2} \\ = - \sum_{i} λ_{i}^{1} \log λ_{i}^{1} - \sum_{i} λ_{i}^{2} \log λ_{i}^{2} \\ = S (ρ) + S (σ) . \end{aligned} \end{matrix}

由此得证。

纠缠熵的次可加性

　　纠缠熵的次可加性说的是不等式：

\begin{matrix} (10) & S (A, B) ⩽ S (A) + S (B) . \end{matrix}

他的证明是 klein 不等式式 4 的简单应用。记 AB 总系统上密度矩阵为

ρ_{A B}

，

A

和

B

分别两个子系统上的密度矩阵为

ρ_{A}

和

ρ_{B}

，我们令 klein 不等式中的

ρ = ρ_{A B}

，

σ = ρ_{A} \otimes ρ_{B}

。那么有：

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} S (ρ_{A B} | | ρ_{A} \otimes ρ_{B}) & = tr (ρ_{A B} \log ρ_{A B}) - tr (ρ_{A B} \log (ρ_{A} \otimes ρ_{B})) \\ = - S (A, B) - tr (ρ_{A B} \log (ρ_{A} \otimes I_{B}) + ρ_{A B} \log (I_{A} \otimes ρ_{B})) \\ = - S (A, B) - tr (ρ_{A} \log ρ_{A}) - tr (ρ_{B} \log ρ_{B}) \\ = - S (A, B) + S (A) + S (B) \\ ⩾ 0 . \end{aligned} \end{matrix}

由此可证

S (A, B) ⩽ S (A) + (B)

，其取等号的条件也即是 klein 不等式取等号的条件，即

ρ_{A B} = ρ_{A} \otimes ρ_{B}

，总系统是子系统的直积态时取等号，这恰好与上一条性质相符。

纠缠熵的三角不等式

　　纠缠熵的三角不等式，也被称为 Araki-Lieb 不等式，指的是：

\begin{matrix} (12) & S (A, B) ⩾ | S (A) - S (B) | . \end{matrix}

除

A

，

B

系统外，我们额外引入系统

C

来纯化系统

A

和

B

。此时由于总系统是纯态，

S (A, B, C) = 0

，则有

S (A) = S (B, C)

和

S (B) = S (A, C)

。

　　分别考虑 $A$ ， $C$ 区域的次可加性和 $B$ ， $C$ 区域的次可加性，则有：

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} S (A, C) & ⩽ S (A) + S (C) \\ S (B, C) & ⩽ S (B) + S (C) . \end{aligned} \end{matrix}

　　也可写作：

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} S (B) & ⩽ S (A) + S (A, B) \\ S (A) & ⩽ S (B) + S (A, B) . \end{aligned} \end{matrix}

　　整理得：

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} S (A, B) & ⩾ S (B) - S (A) \\ S (A, B) & ⩾ S (A) - S (B) . \end{aligned} \end{matrix}

　　写在一起就是 $S (A, B) ⩾ | S (A) - S (B) |$ 。

3. 纠缠熵的连续性

　　借助迹距离作为密度矩阵的度量，我们可以讨论纠缠熵的连续性。

　　纠缠熵的连续性由 Fannes 不等式保证。

定理 1　Fannes 不等式

　　设 $ρ$ 和 $σ$ 是两个密度矩阵， $T (ρ, σ)$ 是 $ρ$ 和 $σ$ 之间的迹距离。若 $T (ρ, σ) ⩽ \frac{1}{e}$ ，则有：

\begin{matrix} (16) & | S (ρ) - S (σ) | ⩽ 2 T (ρ, σ) \log_{2} d - 2 T (ρ, σ) \log_{2} [2 T (ρ, σ)] . \end{matrix}

其中

d

表示希尔伯特空间的维度。

　　而对于更大的 $T (ρ, σ)$ ，有弱化版的不等式：

\begin{matrix} (17) & | S (ρ) - S (σ) | ⩽ 2 T (ρ, σ) \log d + \frac{1}{e \ln 2} . \end{matrix}

　　在 [1] 中给出了证明，而在论文中给出了该不等式更强的形式：

\begin{matrix} (18) & | S (ρ) - S (σ) | ⩽ T (ρ, σ) \log_{2} (d - 1) + H ((T (ρ, σ), 1 - T (ρ, σ))) . \end{matrix}

　　其中 $H (p)$ 是香农熵。

　　可见由 Fannes 不等式可得，在 $\forall 0 < ϵ, \exists δ > 0$ ，当 $T (ρ, σ) < δ$ 时，有 $| S (ρ) - S (σ) | < ϵ$ ，其中， $δ$ 取 $ϵ = x \log_{2} (d - 1) + H ((x, 1 - x))$ 的较小的解，当解不存在时，取 $f (x) = x \log_{2} (d - 1) + H ((x, 1 - x))$ 的极值点横坐标。

　　由此可以说 Fannes 不等式给出了在迹距离的度量下，纠缠熵的连续性。

1. ^ 参考了 [1] 和 Wikipedia相关界面

[1] ^ Michael A. Nielsen，Isaac L. Chuang 著，郑大钟赵千川译 量子计算和量子信息（二）——量子信息部分 清华大学出版社

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