贡献者： 叶月2_
自旋对态矢作用
通过对角动量理论的学习，我们已经知道，在向量空间中，$\mathrm e^{-\mathrm i\hat J_i\phi}$ 可以描述经典向量绕生成元 $\hat J_i$ 对应的轴旋转 $\phi$。但对于可以选择任意表象的态矢而言，这种绕固定轴的转动还可以影响别的观测结果，即期望值。
以三维空间中自旋 $1/2$ 的粒子为例，其自旋期望值为 $(\overline{\hat S_x},\overline{\hat S_y},\overline{\hat S_z})$。设该粒子的初始态矢为 $ \left\lvert a \right\rangle $，态矢绕 $z$ 轴 “转动” 后变为 $\mathrm e^{-\mathrm i \hat S_z\phi} \left\lvert a \right\rangle $。则期望值变化为：
\begin{equation}
\left\langle a \right\rvert \hat S_i \left\lvert a \right\rangle \rightarrow \left\langle a \right\rvert \mathrm e^{\mathrm i \hat S_z\phi}\hat S_i\mathrm e^{-\mathrm i \hat S_z\phi} \left\lvert a \right\rangle ~.
\end{equation}
在 $\hat S_z$ 表象下计算 $\mathrm e^{\mathrm i \hat S_z\phi}\hat S_x\mathrm e^{-\mathrm i \hat S_z\phi}$ 得：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathrm e^{\mathrm i \hat S_z\phi}\hat S_x\mathrm e^{-\mathrm i \hat S_z\phi}&=\mathrm e^{\mathrm i \hat S_z\phi}\left(\frac{1}{2}( \left\lvert - \right\rangle \left\langle + \right\rvert + \left\lvert + \right\rangle \left\langle - \right\rvert )\right)\mathrm e^{-\mathrm i \hat S_z\phi}\\
&=\frac{1}{2}\left(\mathrm e^{-\mathrm i \phi} \left\lvert - \right\rangle \left\langle + \right\rvert + \left\lvert + \right\rangle \left\langle - \right\rvert \mathrm e^{\mathrm i \phi}\right)\\
&=\frac{1}{2}\left[ \operatorname {cos}\phi( \left\lvert - \right\rangle \left\langle + \right\rvert + \left\lvert + \right\rangle \left\langle - \right\rvert )+\mathrm i \operatorname {sin}\phi( \left\lvert + \right\rangle \left\langle - \right\rvert - \left\lvert - \right\rangle \left\langle + \right\rvert )\right]\\
&= \operatorname {cos}\phi \hat S_x- \operatorname {sin}\phi \hat S_y~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此，$\hat S_x$ 的期望值变化为：
\begin{equation}
\overline{\hat S_x}\rightarrow \overline{\hat S_x} \operatorname {cos}\phi-\overline{\hat S_y} \operatorname {sin}\phi~.
\end{equation}
同理可以计算出其他分量的期望值变化：
\begin{equation}
\overline{\hat S_y}\rightarrow \overline{\hat S_y} \operatorname {cos}\phi+\overline{\hat S_x} \operatorname {sin}\phi~,
\end{equation}
\begin{equation}
\overline{\hat S_z}\rightarrow \overline{\hat S_z}~.
\end{equation}
因此，自旋期望值可看作经典矢量，态矢绕自旋 $z$ 分量 “旋转” 相当于该矢量绕自旋 $z$ 分量 “旋转”：
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\operatorname {cos}\phi &- \operatorname {sin}\phi &0 \\
\operatorname {sin}\phi & \operatorname {cos}\phi & 0\\
0& 0 &1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\overline{\hat S_x}\\
\overline{\hat S_y}\\
\overline{\hat S_z}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\overline{\hat S'_x}\\
\overline{\hat S'_y}\\
\overline{\hat S'_z}
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
可以利用贝克-豪斯多夫（Baker-Hausdorff）公式计算 $\mathrm e^{\mathrm i \hat S_z\phi}\hat S_x\mathrm e^{-\mathrm i \hat S_z\phi}$。
计算过程表明自旋期望值的变化适用于任意角动量期望值的变化（即也适用于轨道角动量算子期望值）。
也就是说，态矢绕任意角动量分量 $\hat J_i$ 的指向旋转 $\phi$，相当于该角动量期望值矢量 $\overline{\hat J_i}$ 在三维空间的旋转。
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