贡献者： zhousiyi
洛仑兹群的狄拉克表示是可约的。我们可以构造两个二维表示
\begin{equation}
\psi = \begin{pmatrix}
\psi_L \\
\psi_R
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
$\psi_L$ 被称为左手的 Weyl 旋量，$\psi_R$ 被称为右手的 Weyl 旋量。在无穷小转动 $\mathbf \theta$ 和 boost $\mathbf \beta$ 下，它们的变换规则为
\begin{align}
\psi_L \rightarrow (1-i \boldsymbol \theta \cdot \frac{\boldsymbol \sigma}{2} - \boldsymbol \beta \cdot \frac{\boldsymbol \sigma}{2})\psi_L ~, \\
\psi_R \rightarrow (1-i\boldsymbol \theta \cdot \frac{\boldsymbol \sigma}{2}+ \boldsymbol \beta \cdot \frac{\boldsymbol \sigma}{2})\psi_R ~.
\end{align}
下面这个恒等式很有用
\begin{equation}
\sigma^2\boldsymbol \sigma^* = - \boldsymbol \sigma \sigma^2~.
\end{equation}
不难证明 $\sigma^2\psi^*_L$ 像右手旋量一样变换。用 $\psi_L$ 和 $\psi_R$,我们可以把狄拉克方程写为如下的形式
\begin{equation}
(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = \begin{pmatrix}
- m & i (\partial_0+\boldsymbol \sigma \cdot \boldsymbol \nabla) \\
i(\partial_0-\boldsymbol\sigma\cdot \boldsymbol\nabla) & -m
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\psi_L \\ \psi_R
\end{pmatrix}=0~.
\end{equation}
从上式可以看出，两个洛仑兹群的表示 $\psi_L$ 和 $\psi_R$ 在狄拉克方程中通过质量项进行混合。如果我们把 $m$ 置成 0，那么关于 $\psi_L$ 和 $\psi_R$ 的两个方程就分开了
\begin{align}
i(\partial_0 - \boldsymbol \sigma \cdot \boldsymbol \nabla) \psi_L = 0~, \\
i(\partial_0 + \boldsymbol \sigma \cdot \boldsymbol \nabla) \psi_R = 0~.
\end{align}
这两个方程被称为 Weyl 方程。在处理
中微子物理和
弱相互作用的物理的时候尤为重要。定义
\begin{equation}
\sigma^\mu \equiv (1,\boldsymbol \sigma)~, \quad \bar \sigma^\mu \equiv (1,-\sigma)~.
\end{equation}
$\gamma$ 矩阵可以用刚才定义的这两个物理量来表示
\begin{equation}
\gamma^\mu = \begin{pmatrix}
0 & \sigma^\mu \\
\bar \sigma^\mu & 0
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
用这样的记号，狄拉克方程可以写为
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
-m & i \sigma \cdot \partial \\
i \bar \sigma \cdot \partial & -m
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\psi_L \\ \psi_R
\end{pmatrix} = 0~.
\end{equation}
Weyl 方程可以写为
\begin{equation}
i \bar \sigma \cdot \partial \psi_L = 0~, \quad i \sigma \cdot \partial \psi_R = 0~.
\end{equation}
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。