Weyl 旋量

贡献者： zhousiyi

　　洛仑兹群的狄拉克表示是可约的。我们可以构造两个二维表示

\begin{matrix} (1) & ψ = (\begin{matrix} ψ_{L} \\ ψ_{R} \end{matrix}) . \end{matrix}

ψ_{L}

被称为左手的 Weyl 旋量，

ψ_{R}

被称为右手的 Weyl 旋量。在无穷小转动

θ

和 boost

β

下，它们的变换规则为

\begin{array}{r} (2) & ψ_{L} \to (1 - i θ \cdot \frac{σ}{2} - β \cdot \frac{σ}{2}) ψ_{L}, \\ (3) & ψ_{R} \to (1 - i θ \cdot \frac{σ}{2} + β \cdot \frac{σ}{2}) ψ_{R} . \end{array}

下面这个恒等式很有用

\begin{matrix} (4) & σ^{2} σ^{*} = - σ σ^{2} . \end{matrix}

不难证明

σ^{2} ψ_{L}^{*}

像右手旋量一样变换。用

ψ_{L}

和

ψ_{R}

,我们可以把狄拉克方程写为如下的形式

\begin{matrix} (5) & (i γ^{μ} \partial_{μ} - m) ψ = (\begin{matrix} - m & i (\partial_{0} + σ \cdot \nabla) \\ i (\partial_{0} - σ \cdot \nabla) & - m \end{matrix}) (\begin{matrix} ψ_{L} \\ ψ_{R} \end{matrix}) = 0 . \end{matrix}

从上式可以看出，两个洛仑兹群的表示

ψ_{L}

和

ψ_{R}

在狄拉克方程中通过质量项进行混合。如果我们把

m

置成 0，那么关于

ψ_{L}

和

ψ_{R}

的两个方程就分开了

\begin{array}{r} (6) & i (\partial_{0} - σ \cdot \nabla) ψ_{L} = 0, \\ (7) & i (\partial_{0} + σ \cdot \nabla) ψ_{R} = 0 . \end{array}

这两个方程被称为 Weyl 方程。在处理中微子物理和弱相互作用的物理的时候尤为重要。定义

\begin{matrix} (8) & σ^{μ} \equiv (1, σ), {\bar{σ}}^{μ} \equiv (1, - σ) . \end{matrix}

γ

矩阵可以用刚才定义的这两个物理量来表示

\begin{matrix} (9) & γ^{μ} = (\begin{matrix} 0 & σ^{μ} \\ {\bar{σ}}^{μ} & 0 \end{matrix}) . \end{matrix}

用这样的记号，狄拉克方程可以写为

\begin{matrix} (10) & (\begin{matrix} - m & i σ \cdot \partial \\ i \bar{σ} \cdot \partial & - m \end{matrix}) (\begin{matrix} ψ_{L} \\ ψ_{R} \end{matrix}) = 0 . \end{matrix}

Weyl 方程可以写为

\begin{matrix} (11) & i \bar{σ} \cdot \partial ψ_{L} = 0, i σ \cdot \partial ψ_{R} = 0 . \end{matrix}

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