Weyl旋量

             

贡献者: zhousiyi

   洛仑兹群的狄拉克表示是可约的.我们可以构造两个二维表示

\begin{equation} \psi = \begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix}~. \end{equation}
$\psi_L$ 被称为左手的 Weyl 旋量,$\psi_R$ 被称为右手的 Weyl 旋量.在无穷小转动 $\mathbf \theta$ 和 boost $\mathbf \beta$ 下, 它们的变换规则为
\begin{align} \psi_L \rightarrow (1-i \boldsymbol \theta \cdot \frac{\boldsymbol \sigma}{2} - \boldsymbol \beta \cdot \frac{\boldsymbol \sigma}{2})\psi_L ~, \\ \psi_R \rightarrow (1-i\boldsymbol \theta \cdot \frac{\boldsymbol \sigma}{2}+ \boldsymbol \beta \cdot \frac{\boldsymbol \sigma}{2})\psi_R ~. \end{align}
下面这个恒等式很有用
\begin{equation} \sigma^2\boldsymbol \sigma^* = - \boldsymbol \sigma \sigma^2~. \end{equation}
不难证明 $\sigma^2\psi^*_L$ 像右手旋量一样变换.用 $\psi_L$ 和 $\psi_R$,我们可以把狄拉克方程写为如下的形式
\begin{equation} (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = \begin{pmatrix} - m & i (\partial_0+\boldsymbol \sigma \cdot \boldsymbol \nabla) \\ i(\partial_0-\boldsymbol\sigma\cdot \boldsymbol\nabla) & -m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix}=0~. \end{equation}
从上式可以看出,两个洛仑兹群的表示 $\psi_L$ 和 $\psi_R$ 在狄拉克方程中通过质量项进行混合.如果我们把 $m$ 置成 0,那么关于 $\psi_L$ 和 $\psi_R$ 的两个方程就分开了
\begin{align} i(\partial_0 - \boldsymbol \sigma \cdot \boldsymbol \nabla) \psi_L = 0~, \\ i(\partial_0 + \boldsymbol \sigma \cdot \boldsymbol \nabla) \psi_R = 0~. \end{align}
这两个方程被称为 Weyl 方程.在处理中微子物理弱相互作用的物理的时候尤为重要.定义
\begin{equation} \sigma^\mu \equiv (1,\boldsymbol \sigma)~, \quad \bar \sigma^\mu \equiv (1,-\sigma)~. \end{equation}
$\gamma$ 矩阵可以用刚才定义的这两个物理量来表示
\begin{equation} \gamma^\mu = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^\mu \\ \bar \sigma^\mu & 0 \end{pmatrix} \end{equation}
用这样的记号,狄拉克方程可以写为
\begin{equation} \begin{pmatrix} -m & i \sigma \cdot \partial \\ i \bar \sigma \cdot \partial & -m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix} = 0~. \end{equation}
Weyl 方程可以写为
\begin{equation} i \bar \sigma \cdot \partial \psi_L = 0~, \quad i \sigma \cdot \partial \psi_R = 0~. \end{equation}


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