埃尔米特型

贡献者：零穹

预备知识　半双线性形式

　　本节半双线性型定义采用物理上习惯的定义，即定义 1 。

定义 1　埃尔米特型

　　设 $V$ 是定义在复数域 $C$ 上的矢量空间，其上的半双线性型称为埃尔米特型（Hermitian），若

\begin{matrix} (1) & f (y, x) = f^{*} (x, y), \end{matrix}

其中*表共轭复数。

例 1　埃尔米特型对应矩阵元的性质

　　试证明埃尔米特型 $f$ 对应的矩阵 $F$ 的系数满足 $f_{i j} = f_{j i}^{*}$ 。其中 $f_{i j} = f (e_{i}, e_{j})$ 。这就是说 $F^{†} = F$ ，其中 $F^{†} = {(F^{T})}^{*}$ 。

　　 证明：由埃尔米特型定义知

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \sum_{i, j} x_{i}^{*} y_{j} f_{i j} & = f (x, y) = f^{*} (y, x) \\ = {(\sum_{i, j} y_{j}^{*} x_{i} f_{j i})}^{*} = \sum_{i, j} y_{j} x_{i}^{*} f_{j i}^{*}, \end{aligned} \end{matrix}

对比即得

f_{i j} = f_{j i}^{*}

。

　　按照二次型对应的线性型与对应矩阵的命名的惯例（即名为 $n a m e$ 型的线性型对应的矩阵称 $n a m e$ 矩阵），有下面定义

定义 2　埃尔米特矩阵

　　称矩阵 $A$ 为埃尔米特矩阵，若 $A^{†} = A$ ，其中， $A^{†} = {(A^{T})}^{*}$

例 2　埃尔米特矩阵在不同基底下仍是埃尔米特的

　　也就是说要证明对基底 $e_{i}$ 下的埃尔米特型 $f$ 对应的矩阵 $F = F^{†}$ ，要证在基底 $e_{i}^{'}$ 下对应的矩阵 $F^{'}$ 仍满足 $F^{'} = F^{' †}$ 。

　　 证明：设 $A$ 是基底 $e_{i}$ 到基底 $e_{i}^{'}$ 的转换矩阵。由 $f$ 是半双线性型，知（例 1 ）

\begin{matrix} (3) & F^{'} = A^{†} FA, \end{matrix}

故

\begin{matrix} (4) & (F^{'})^{†} = (A^{†} FA)^{†} = A^{†} F^{†} A = A^{†} FA = F^{'} . \end{matrix}

　　埃尔米特型 $f (x, y)$ 自然对应埃尔米特二次型 $f (x, x)$ 。因为

\begin{matrix} (5) & f (x, x) = f^{*} (x, x), \end{matrix}

所以埃尔米特二次型只取实数值。

定义 3　正定埃尔米特二次型

　　埃尔米特二次型 $f (x, x)$ 称为正定的，若对 $\forall x$ 有

\begin{matrix} (6) & f (x, x) \geq 0, \end{matrix}

且

\begin{matrix} (7) & f (x, x) = 0 \Rightarrow x = 0 . \end{matrix}

定义 4　正定埃尔米特型

　　与正定埃尔米特二次型对应的埃尔米特型称为正定埃尔米特型。

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埃尔米特型

定义 1 埃尔米特型

例 1 埃尔米特型对应矩阵元的性质

定义 2 埃尔米特矩阵

例 2 埃尔米特矩阵在不同基底下仍是埃尔米特的