埃尔米特型

                     

贡献者: 零穹

预备知识 半双线性形式

   本节半双线性型定义采用物理上习惯的定义,即定义 1

定义 1 埃尔米特型

   设 $V$ 是定义在复数域 $\mathbb{C}$ 上的矢量空间,其上的半双线性型称为埃尔米特型(Hermitian),若

\begin{equation} f( y, x)=f^*( x, y) \end{equation}
其中*表共轭复数.

例 1 埃尔米特型对应矩阵元的性质

   试证明埃尔米特型 $f$ 对应的矩阵 $F$ 的系数满足 $f_{ij}=f_{ji}^*$.其中 $f_{ij}=f( e_i, e_j)$.这就是说 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ^\dagger= \boldsymbol{\mathbf{F}} $,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ^\dagger= \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} ^T \right) ^*$.

   证明:由埃尔米特型定义知

\begin{equation} \begin{aligned} \sum_{i,j}x_i^*y_j f_{ij}&=f( x, y)=f^*( y, x)\\ &= \left(\sum_{i,j}y_j^* x_i f_{ji} \right) ^*=\sum_{i,j}y_j x_i^*f_{ji}^* \end{aligned} \end{equation}
对比即得 $f_{ij}=f_{ji}^*$.

   按照二次型对应的线性型与对应矩阵的命名的惯例(即名为 $name$ 型的线性型对应的矩阵称 $name$ 矩阵),有下面定义

定义 2 埃尔米特矩阵

   称矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为埃尔米特矩阵,若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger= \boldsymbol{\mathbf{A}} $,其中,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger= \left( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^T \right) ^*$

例 2 埃尔米特矩阵在不同基底下仍是埃尔米特的

   也就是说要证明对基底 $ e_i$ 下的埃尔米特型 $f$ 对应的矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} ^\dagger$,要证在基底 $ e'_i$ 下对应的矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '$ 仍满足 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '= \boldsymbol{\mathbf{F}} '^\dagger$.

   证明:设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是基底 $ e_i$ 到基底 $ e'_i$ 的转换矩阵.由 $f$ 是半双线性型,知(例 1

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} '= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{FA}} \end{equation}
\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{F}} ')^\dagger=( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{FA}} )^\dagger= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{FA}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} ' \end{equation}

   埃尔米特型 $f( x, y)$ 自然对应埃尔米特二次型 $f( x, x)$.因为

\begin{equation} f( x, x)= f^*( x, x) \end{equation}
所以埃尔米特二次型只取实数值.

定义 3 正定埃尔米特二次型

   埃尔米特二次型 $f( x, x)$ 称为正定的,若对 $\forall x$ 有

\begin{equation} f( x, x)\geq0, \end{equation}
\begin{equation} f( x, x)=0\Rightarrow x= 0 \end{equation}

定义 4 正定埃尔米特型

   与正定埃尔米特二次型对应的埃尔米特型称为正定埃尔米特型


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