埃尔米特型
贡献者： 零穹
本节半双线性型定义采用物理上习惯的定义，即定义 1 。
定义 1 埃尔米特型
设 $V$ 是定义在复数域 $\mathbb{C}$ 上的矢量空间，其上的半双线性型称为埃尔米特型（Hermitian），若
\begin{equation}
f( y, x)=f^*( x, y)~,
\end{equation}
其中*表共轭复数。
例 1 埃尔米特型对应矩阵元的性质
试证明埃尔米特型 $f$ 对应的矩阵 $F$ 的系数满足 $f_{ij}=f_{ji}^*$。其中 $f_{ij}=f( e_i, e_j)$。这就是说 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ^\dagger= \boldsymbol{\mathbf{F}} $，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ^\dagger= \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} ^T \right) ^*$。
证明：由埃尔米特型定义知
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sum_{i,j}x_i^*y_j f_{ij}&=f( x, y)=f^*( y, x)\\
&= \left(\sum_{i,j}y_j^* x_i f_{ji} \right) ^*=\sum_{i,j}y_j x_i^*f_{ji}^*~,
\end{aligned}
\end{equation}
对比即得 $f_{ij}=f_{ji}^*$。
按照二次型对应的线性型与对应矩阵的命名的惯例（即名为 $name$ 型的线性型对应的矩阵称 $name$ 矩阵），有下面定义
定义 2 埃尔米特矩阵
称矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为埃尔米特矩阵，若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger= \boldsymbol{\mathbf{A}} $，其中，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger= \left( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^T \right) ^*$
例 2 埃尔米特矩阵在不同基底下仍是埃尔米特的
也就是说要证明对基底 $ e_i$ 下的埃尔米特型 $f$ 对应的矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} ^\dagger$，要证在基底 $ e'_i$ 下对应的矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '$ 仍满足 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '= \boldsymbol{\mathbf{F}} '^\dagger$。
证明：设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是基底 $ e_i$ 到基底 $ e'_i$ 的转换矩阵。由 $f$ 是半双线性型，知（例 1 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} '= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{FA}} ~,
\end{equation}
故
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{F}} ')^\dagger=( \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{FA}} )^\dagger= \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{F}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{FA}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} '~.
\end{equation}
埃尔米特型 $f( x, y)$ 自然对应埃尔米特二次型 $f( x, x)$。因为
\begin{equation}
f( x, x)= f^*( x, x) ~,
\end{equation}
所以埃尔米特二次型只取实数值。
定义 3 正定埃尔米特二次型
埃尔米特二次型 $f( x, x)$ 称为正定的，若对 $\forall x$ 有
\begin{equation}
f( x, x)\geq0~,
\end{equation}
且
\begin{equation}
f( x, x)=0\Rightarrow x= 0~.
\end{equation}
定义 4 正定埃尔米特型
与正定埃尔米特二次型对应的埃尔米特型称为正定埃尔米特型。
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