三维投影

贡献者： addis; ACertainUser

　　¹当我们在平面上画三维物体时，我们需要某种投影算法把物体上的每个点对应到平面上的一点。以下介绍两种常用的方法，一种是平行投影（parallel projection），另一种是透视投影（perspective projection）。

1. 平行投影

　　 顾名思义，平行投影是指在空间中指定一个方向（如图未完成），将三维物体上的每一点沿着该方向投影到与该方向垂直的平面上。工程制图中的正视图，侧视图等都属于平行投影。这种投影的特点是，空间中的任意两条平行线的投影仍然是平行线。平行投影是线性的，即一个线段若伸长若干倍，那么它的投影也会按照同样的比例伸长。

2. 透视投影

　　 当人眼或相机观察一个三维物体时，使用的是透视投影。

　　 我们在平面后方取一个固定点 $F$ 称为焦点，要把物体上任意一点 $P$ 投影到屏幕（对于眼睛而言，这是我们 “看到的图像”）上，先作直线 $PF$，该直线与平面的交点 $P'$ 就是投影后的点。

　　 透视投影不是线性的，且会使物体的投影呈现 “近大远小”，但仍可以保证直线的投影仍然为直线。由于人眼适应的是透视投影，因此运用透视投影作画，会让画面更显真实。

　　 为什么透视投影要这样定义？我们先思考一种非常简单的相机，即小孔成像相机。根据光的直线传播，物体上的某点发出的（或反射的）光线只有经过小孔才能投影到孔后面的平面。如果按照这个模型，我们在计算透视投影时应该把焦点定义在屏幕之前，然而这么做有一个缺点就是投影后平面上的像是倒像。所以为了方便起见，我们保持焦点不变，但是把屏幕平移到焦点之前（焦距也不变），容易看出这样做的唯一改变就是把倒像变为正像，即点 $P'$ 的两个平面坐标分别取相反数。

　　 如果我们将相机上的小孔改为焦距为 $f$ 的小凸透镜，并假设物距远大于焦距，那么根据成像公式，凸透镜和平面（即底片）的距离就是焦距 $f$。根据凸透镜成像原理，物体一点在底片上的像仍然会过凸透镜的中点，所以使用凸透镜的相机和使用小孔成像的相机得到的投影是相同的。至于人眼，人眼成像的原理和相机基本一致，虽然视网膜并不是一个平面，得到的成像是扭曲的，但大脑在处理图象是会自动纠正这种扭曲（例如我们看到的直线仍然是直的）。

3. 计算方法

　　 无论是哪种投影，我们通常建立两个坐标系，一个是世界坐标系（world frame） $S$，一个是相机坐标系（camera frame） $S'$。一个基本的问题就是将一个系里面的坐标变换到另一个系中的坐标。这可以通过空间旋转矩阵，再加上一个平移完成（平移的矢量是两个坐标系原点之间的位移）。

　　 把所有要投影的点 $P_i$（$i = 1, \dots, N$）的在世界系中的坐标（假设已知）记为一个 3 行 $N$ 列矩阵，矩阵的第 $i$ 列就是列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} _i = (x_i, y_i, z_i) ^{\mathrm{T}} $。将 3 乘 3 的旋转矩阵左乘该矩阵，再给每行加上常数进行平移即可。完成后，我们就得到了相机系中的坐标矩阵，每一列是 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} _i' = (x_i', y_i', z_i') ^{\mathrm{T}} $。

平行投影

　　 当我们做平行投影时，可以令相机系的 $x$-$y$ 平面为投影平面，投影方向为 $- \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $。即 $(x_i', y_i', z_i')$ 投影后为 $(x_i', y_i')$。

透视投影

　　 当我们做透视投影时，可以令原点为焦点，$(0, 0, f)$ 为平面的中点，平面与 $z$ 轴垂直。相机系中的某点 $(x_i', y_i', z_i')$ 投影后变为 $(x_i' f/z_i', y_i' f/z_i')$，即每个分量乘以 $f/z_i'$，使得 $z$ 分量等于 $f$。

　　 或者更讲人话的，如 图 4 所示，我们依据计算机图形学的惯例²，以焦点为原点，$-z$ 方向垂直指入屏幕，建立坐标系。

　　 显而易见，透视投影其实是一个简单的相似三角形问题。假设物体的一个顶点 $P$ 的坐标为 $(x,y,z)$，它在屏幕上对应点 $P'$ 的坐标为 $(x',y')$³。先观察 $y$ 坐标，显然： $$\frac{y}{z}=\frac{y'}{n}~,$$ 即 $$y'=\frac{n}{z}y~.$$ 同理 $$x'=\frac{n}{z}x~.$$

　　 总结一下，透视投影是一个这样的过程： $$P: (x,y,z) \to P': \left( \frac{n}{z}x, \frac{n}{z}y \right)~.$$ 真是简单的出乎意料！

4. 3D 艺术画

　　 见 3D 艺术画。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 不同人有不同的习惯，因此你的参考教材、软件可能使用了其他的约定。
3. ^ 由于屏幕是二维的，所以目前而言 $P'$ 的 $z$ 坐标 $z'$ 是无关紧要的。不过，为了以后进一步处理形状的遮挡顺序（显然，靠近屏幕的形状会遮住后面的形状），我们会定义 $z'$ 坐标。