计算 3D 艺术画

             

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1. 3D 艺术画

图
图 1:2011 年最大的 3D 艺术画,画于伦敦街头,获吉尼斯纪录
图
图 2:从不同角度看 3D 艺术画(图 1 由该图中右上角相机拍摄)

2. 计算

预备知识 由图像坐标计算射线,直线和平面的交点

   由预备知识中的两个词条,若给出预期的效果图(即图 1 中的虚构部分),世界坐标系中投影平面的位置,以及相机模型的参数和位置,就可以将效果图上的点一一对应到世界系的射线,再对应到投影平面上.

   我们不直接投影到世界系的 $xy$ 平面上,是因为一些 3D 艺术画不仅使用地板,也可能使用墙壁和天花板等多个平面.

代码 1:art3D.m
% 参数中矢量不必归一化

% === 设置相机参数 ===
imfile = 'test.png'; % 图片位置
cam_pos = [10, -10, 10]; % 世界参考系中相机位置
cam_z = -cam_pos; % 世界参考系中相机朝向
view_ang = 40/180*pi; % 相机水平视角 (单位:弧度)
cc = [0, 0]; % 光轴相对图片中心的偏移 (单位: 像素),

% === 设置投影平面 ===
plane_o = [0, 0, 0]; % 原点
plane_z = [0, 0, 1]; % z 轴单位矢量
plane_x = [1, 0, 0]; % x 轴单位矢量
% ================

% 相机坐标系
% 相机的 x 轴总是水平
cam_z = cam_z / norm(cam_z);
cam_x = cross([0, 0, -1], cam_z); cam_x = cam_x / norm(cam_x);
cam_y = cross(cam_z, cam_x);
RT = [cam_x', cam_y', cam_z']; % rotation matrix

% 平面坐标系
plane_z = plane_z / norm(plane_z);
plane_y = cross(plane_z, plane_x);
plane_y = plane_y / norm(plane_y);
plane_x = cross(plane_y, plane_z);

% 读取图片
I = imread(imfile);
[N1, N2, ~] = size(I);
f = N2/2/tan(view_ang/2); % 焦距 (单位: 像素)

% 在相机系中生成图片网格(每个像素都是网格中一个正方形)
[xc, yc] = meshgrid(linspace(0.5, N2+0.5, N2+1), linspace(0.5, N1+0.5, N1+1));
xc = xc - N2/2 + 0.5;
yc = yc - N1/2 + 0.5;

% 世界系中的射线(对应每个格点)
vc = zeros(3, (N1+1)*(N2+1));
vc(1,:) = xc(:); vc(2,:) = yc(:); vc(3,:) = f;
v = RT * vc;

% 世界系中射线与平面的交点 (参考 https://wuli.wiki/online/LPint.html)
intersec = ((plane_o - cam_pos) * plane_z') * v ./ (plane_z * v) + cam_pos';

% 将交点转换到平面参考系
inter1 = intersec - plane_o';
if max(plane_z * inter1) > 1e-14
    error('intersection not on plane');
end
xp = plane_x * inter1;
yp = plane_y * inter1;
xp = reshape(xp, N1+1, N2+1);
yp = reshape(yp, N1+1, N2+1);

% 画图
zp = zeros(size(xp));
cdata = double(I)/255; cdata(end+1, end+1, 3) = 0;
figure; surf(xp, yp, zp, 'CData', cdata, 'LineStyle', 'none');
view(0, 90); axis equal;

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