相机模型

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　三维投影，图片坐标系

图 1：相机坐标系

　　从焦点出发，穿过底片并与底片垂直的射线叫做光轴。

　　以焦点为原点，光轴方向为 $z$ 轴，图片的右方为 $x$ 轴，下方为 $y$ 轴（注意这是常用的右手系）。

　　真实的相机和这里的相机模型存在误差，通常需要将图片进行纠偏后才能得到符合模型的图像。以后我们讨论的图像一般指纠偏后的图像。

　　注意图像的中点不一定是光轴和底片的交点。

　　相机参数：焦距，底片宽度，底片高度，光轴的图像坐标

　　相机的位置参数：焦点的位置，三个单位矢量在世界坐标系中的坐标（即旋转矩阵，也可以使用四元数表示）

　　反过来，若已知图片和相机位置和参数，我们可以将图片上的每一点对应到以相机为起点的一条射线。而至于这点具体在射线上的什么位置无从得知。但如果我们从两个不同的位置拍摄同一点，就可以通过两条射线的交点确定该点位置。

　　若已知相机参数，我们可以通过图片中的任意两点确定它们关于相机的夹角（即两条射线的夹角）。

1. 变换方程

　　变换有 7 个自由度，相机位置 3 个，相机角度 3 个，相机焦距 1 个。

　　一般形式为（推导：根据相机模型结合立体几何）

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x' &= \frac{c_4 x + c_5 y + c_6 z + c_7}{c_1 x + c_2 y + c_3}\\ y' &= \frac{c_8 x + c_9 y + c_{10} z + c_{11}}{c_1 x + c_2 y + c_3} \end{aligned}\right. ~ \end{equation}

注意这里的 9 个常系数中只有 7 个是独立的。所以理论上我们可以只用 4 个一般位置的点及它们在图片上的坐标解得所有的系数，但这样方程就不是线性的了。所以我们也可以假设 9 个系数都是独立的，并用 6 个或以上一般位置的点得到 12 条（或以上）关于 $c_i$ 的超定齐次线性方程组，并利用超定来减小误差。

　　如果我们不仅需要得到变换公式，还需要从这些系数里面得到相机的位置和朝向，那么我们可以从立体几何的角度出发，例如见长方形相机定位法。但这样我们需要的 4 个点就必须是长方形的四个顶点而不是任意点。

2. 平面到平面的变换

　　注意式 1 不存在逆变换，因为我们把空间中的点投影到平面上时丢失了景深的信息。但如果我们限制所有空间点 $(x, y, z)$ 都在某个平面上（不失一般性，假设它们在 $x$-$y$ 平面上），那两个平面上的点就有一一对应的关系。

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x' &= \frac{c_4 x + c_5 y + c_6}{c_1 x + c_2 y + c_3}\\ y' &= \frac{c_7 x + c_8 y + c_9}{c_1 x + c_2 y + c_3} \end{aligned}\right. ~ \end{equation}

可以证明其逆变换也有相同的形式，虽然这并不显然。

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