排列

             

预备知识 映射,阶乘

  1我们讨论含有 $N$ 个元素的任意集合,由于集合中元素的名称不重要,我们以下将它记为 $ \left\{1,2,\dots, N \right\} $.注意集合的是没有顺序的,例如 $ \left\{1,2,3 \right\} $ 和 $ \left\{1,3,2 \right\} $ 是同一个集合.当我们把集合 $S$ 中的的元素按照某种顺序排列成一个序列时,就称为它是集合 $S$ 的一种排列(permutation).每个排列可以看作一个映射 $f: \left\{1,\dots,N \right\} \to \left\{1,\dots,N \right\} $.

   那么 $N$ 个元素的集合一共有几种不同的排列呢?第 1 个位置有 $N$ 种不同的可能,确定之后第 2 个位置有 $N-1$ 种不同的可能,第 3 个位置有 $N-2$ 种……最后一个位置只有 1 种.所以可能性的种数可以用阶乘 表示,记为 $A_N$

\begin{equation} A_N = N! = N(N-1)(N-2)\dots 1 \end{equation}

   我们可以把第 $i$ 种排列记为 $p_i$,该排列的元素按照顺序分别记为 $p_{i,1}, p_{i,2}, \dots, p_{i,N}$.

   一般地,从 $n$ 个不同元素中任取 $m$($m \leq n$)个元素,按照一定的顺序排成一列,称为从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列.

   根据一个排列的定义,两个排列相同的含义为:组成排列的元素相同,并且元素的排列顺序也相同.

   从 $n$ 个不同元素中取出 $m$($m \leq n$)个元素的所有排列的个数,称为从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数,用符号 $A_n^m$ 表示.

   根据分步乘法计数原理可得排列数公式

\begin{equation} A_n^m = n (n - 1)(n - 2) \cdots (n - m + 1) \end{equation}

   我们对排列数公式进行变形,

\begin{equation} \begin{aligned} A_n^m &= \frac{n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - m + 1)(n - m)\cdots 3\cdot 2 \cdot 1}{(n - m)(n - m -1)\cdots 3\cdot 2 \cdot 1}\\ &=\frac{n!}{(n - m)!} \end{aligned} \end{equation}
式 3 为排列数公式的另一种表达形式.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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