纠缠

贡献者： _Eden_

预备知识　约化密度矩阵

　　我们研究一个二元纯态 $ \left\lvert \psi \right\rangle _{AB}$ 的子系统 $A$，假设整个大的孤立系统的 Hilbert 空间可以表示为两个子 Hilbert 空间的张量积：$\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B$，其中 $\mathcal A$ 是待研究的子系统的 Hilbert 空间，设约化密度算符为 $\rho_A=\text{tr}_B \left\lvert \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\rvert $。在约化密度矩阵词条中，我们证明了 $A,B$ 处于纠缠态的一个判据式 6 。

\begin{equation} \text{tr} \rho^2 <1~. \end{equation}

　　它意味着约化密度算符在某个正交完备基下对角化以后，表现为 $\mathcal{H}_A$ 中若干个纯态（大于一个）组成的系综，系综中每个纯态有 $p_a<1$ 的概率出现。这也意味着当且仅当 $\rho_A$ 的施密特秩¹大于 $1$，$A,B$ 处于纠缠态。在此处我们考察的约化密度算符是正定算符，因此施密特秩等于正的本征值的个数。若本征值个数 $>1$，体系处于纠缠态，我们称 $A,B$ 之间具有量子相关性。

　　如果施密特秩为 $1$，那么约化密度算符可以表示为 ${}_A \left\lvert \varphi \right\rangle \left\langle \varphi \right\rvert _A,\varphi_A\in \mathcal{H}$，此时 $A$ 与 $B$ 之间是不纠缠的，或者被称为可分的（seperable）。此时二元纯态 $ \left\lvert \psi \right\rangle $ 实际上可以表示为两个子系统的量子态的张量积：

\begin{equation} \left\lvert \psi \right\rangle _{AB}= \left\lvert \varphi \right\rangle _A\otimes \left\lvert \varphi \right\rangle _B~. \end{equation}

1. ^ 类似于矩阵的秩，可以将这一概念推广到任意线性算符。

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