数论三角和与高斯和

                     

贡献者： int256

预备知识 1　同余与剩余类，指数函数（复数），数论求和记号

1. 数论三角和

　　 由于 eπi=−1，利用 e2πi=1 可以构造出诸多三角和。在数论中我们记

(1)e(t):=e2πit ,
则对于 t 的有理值，当 x≡y(modm) 时，将有
(2)e(xm)=e(ym) .
这是数论三角和的重要性质。

2. Gauss 和

定义 1　Gauss 数论三角和

　　 定义 S(m,n) 为高斯（数论三角）和，1

(3)S(m,n):=∑h=0n−1e(h2mn) .

　　 Gauss 和在二次剩余中应用较多。

　　 考虑对于任意 r，

(4)e((h+rn)2mn)=e(h2mn) ,
故我们可以不将 h 限定在从 0 到 (n−1) 取遍，而只要 h 取遍一个完全剩余系即可。此时用记号 h(n) 表示取遍一个 n 的完全剩余系。

推论 1　

(5)S(m,n):=∑h(n)e(h2mn) .

预备知识 2　线性同余

　　 下面引出由线性同余中的定理 3 的一个推论。

推论 2　

　　 若 (n,n′)=1，则

(6)S(m,nn′)=S(mn′,n)×S(mn,n′) .

　　 证明：考虑 h 取遍 n 的一个完全剩余系而 h′ 取遍 n′ 的一个完全剩余系，则由定理 3 将立刻得到 h0=hn′+h′n 取遍 nn′ 的完全剩余系。而

(7)mh02=m(h′n+hn′)2≡mh2n′2+mh′2n2(modnn′) ,
故
(8)S(mn′,n)×S(mn,n′)=[∑h(n)e(h2mb′n)]×[∑h′(n′)e(h′2mnn′)]=∑h(n),h′(n′)[e(h2mn′n+h′2mnn′)]=∑h(n),h′(n′)[e(m(h2n′2+h′2n2)nn′)]=∑h0(nn′)e(mh02nn′)=S(m,nn′) .
证毕！

定理 1　Gauss 和的等价定义

　　 利用 Legendre 符号，对素数 n 的 Gauss 和 S(1,n) 给出了一个等价定义：

(9)S(1,n)=∑h=0n−1(hp)e(hn) .

1. ^ 在数论中，求和取遍剩余系时，一般都用字母 h 而非其他字母。


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