单位根与本原单位根（数论）
贡献者： int256
定义 1 单位根
若 $p^q=1$，就说 $p$ 是 $q$ 次单位根。
定义 2 本原单位根
若 $p^q = 1$，就称 $p$ 是本原 $q$ 次单位根（primitive $q$-th root of unity）。但对于任何小于 $q$ 的正 $r$，$q^r$ 都不等于 $1$。
我们会注意到 $p$ 几乎总是复数。
定理 1
任何 $q$ 次单位根都是对 $q$ 的某个因子 $r$ 而言的一个本原 $r$ 次单位根。
证明：假设 $p^q=1$，而 $r$ 是使 $p^r=1$ 的最小正整数，则对于 $q = kr+s$，其中 $0\le s < r$，将有
\begin{equation}
p^s = p^{q - kr} = 1~,
\end{equation}
故 $s=0$ 且 $r | q$。
定理 2 单位根的取值
$q$ 次单位根是下列各数，
\begin{equation}
e\left( h/q \right), ~ (h = 0, 1, \dots, q-1) ~.
\end{equation}
定理 3 单位根与本原单位根的关系
对于所有 $q$ 次单位根
\begin{equation}
e(h/q), ~(h = 0, 1, \dots, q-1) ~,
\end{equation}
其是本原 $q$ 次单位根当且仅当 $h$ 与 $q$ 互素。
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