线性同余

                     

贡献者: int256

预备知识 1 同余与剩余类最大公约数与最小公倍数

   类比普通代数的解方程,同余式也有类似方程的问题,例如:

\begin{equation} ka \equiv ka' \xrightarrow{?} a \equiv a' ~. \end{equation}
显然这不一定是成立的,例如 $2 \times 2 \equiv 2 \times 4 \pmod 4$,但 $2 \not \equiv 4 \pmod 4$。线性同余就是讨论类似这样的问题。

定理 1 

   若 $(k, m) = d$,则

\begin{equation} ka \equiv ka' \pmod m \Leftrightarrow a \equiv a' \pmod{\frac{m}{d}} ~. \end{equation}

   证明:考虑 $k = k_0 d$ 而 $m = m_0 d$,则 $(k_0, m_0) = 1$。由

\begin{equation} \frac{ka - ka'}{m} = \frac{k_0(a - a')}{m_0} ~, \end{equation}
而 $(k_0, m_0) = 1$,故 $m | (k a - k a')$ 当且仅当 $m_0 | (a - a')$,证毕!

定理 2 

   若 $a_1, a_2, \dots, a_m$ 是模 $m$ 的一个完全剩余系,且整数 $k$ 满足 $(k, m) =1$,则 $ka_1, ka_2, \dots, ka_m$ 也是模 $m$ 的一个完全剩余系。

   证明:对定理 1 取 $d=1$ 时的情况,则由 $ka_i - ka_j \equiv 0 \pmod m$ 可以得到 $a_i - a_j \equiv 0 \pmod m$。而这仅当 $i = j$ 时才可能成立,故各 $ka_i$ 与 $ka_j$ 当 $i \neq j$ 时模 $m$ 不同余,而一共有 $m$ 个数,故必然构成一个 $m$ 的完全剩余系,证毕!

定理 3 

   设 $(m_1, m_2) = 1$,而 $a_1$ 取遍模 $m_1$ 的一个完全剩余系,$a_2$ 取遍模 $m_2$ 的一个完全剩余系,则 $(a_1 m_2 + a_2 m_1)$ 将取遍模 $m_1 \times m_2$ 的一个完全剩余系。

   证明:由于 $a_1$ 有 $m_1$ 种取值而 $a_2$ 有 $m_2$ 种取值,$a_1m_2+a_2m_1$ 将有 $m_1 \times m_2$ 种取值。考虑若存在某两对 $a_1, a_2$ 与 $a_1', a_2'$ 使得

\begin{equation} a_1 m_2 + a_2 m_1 \equiv a_1' m_2+ a_2' m_1 \pmod{m_1 m_2} ~, \end{equation}
可以考虑若
\begin{equation} a_1 m_2 + a_2 m_1= r(m_1 \times m_2) + a_1' m_2 + a_2' m_1 ~, \end{equation}
而两边同时对 $m_1$ 取模,将得到
\begin{equation} a_1 m_2 + a_2 m_1 \equiv r(m_1 \times m_2) + a_1' m_2 + a_2' m_1 \pmod{m_1} ~, \end{equation}
而含 $m_1$ 的项在模 $m_1$ 的意义下为 $0$,也就是说,
\begin{equation} a_1 m_2 \equiv a_1' m_2 \pmod{m_1} ~. \end{equation}
而由于 $(m_1, m_2) = 1$,利用定理 1 可以得到 $a_1 \equiv a_1' \pmod{m_1}$。类似的,将有 $a_2 \equiv a_2' \pmod{m_2}$。

   从而这 $m_1m_2$ 个数都将是两两不同余的,否则 $a_1$ 或 $a_2$ 将不取遍完全剩余系。故 $a_1m_2+a_2m_1$ 构成了模 $m_1\times m_2$ 的完全剩余系。证毕!

定理 4 定理 3 在缩系的拓展

   若 $(m, m') = 1$,而 $a_1$ 取遍一个 $m_1$ 的缩系,$a_2$ 取遍一个 $m_2$ 的缩系,则 $(a_1m_2 + a_2 m_1)$ 取遍一个 $m_1m_2$ 的缩系。

   证明:考虑 $(a_1m_2 + a_2m_1, m_1m_2) = 1$ 当且仅当 $(a_1m_2 + a_2m_1, m_1) = 1$ 并且 $(a_1m_2 + a_2m_1, m_2) = 1$。

   而由于辗转相除(定理 2 ),则 $(a_1m_2 + a_2m_1, m_1) = 1$ 并且 $(a_1m_2 + a_2m_1, m_2) = 1$ 等价于说 $(a_1m_2, m_1) = 1$ 且 $(a_2m_1, m_2) = 1$。

   而由于 $(m_1, m_2)=1$,故这又等价于说 $(a_1, m_1) = 1$ 且 $(a_2, m_2) = 1$。

   故当 $a_1$ 取遍 $m_1$ 的缩系且 $a_2$ 取遍 $m_2$ 的缩系时,$a_1m_2+a_2m_1$ 取遍 $m_1m_2$ 的缩系。证毕!

预备知识 2 整数模与裴蜀定理

定理 5 

   若 $(k, m) = d$,则同余方程 $kx \equiv l \pmod m$ 有解,当且仅当 $d | l$。且有解时,若考虑同余的解是相同的一组解,则其恰有 $d$ 组不同的解。

   证明:这同余式 $kx \equiv l \pmod m$ 等价于解 $kx - my = l$,而由裴蜀定理可以知道其有解当且仅当 $d | l$。

   现在,我们考虑解的个数。若 $d=1$,则可以直接由刚才的定理 2 得到,仅有一组同余的解。若 $d > 1$,考虑有解时,则 $d|l$,设 $m = m_0 d$,$k = k_0 d$,$l = l_0 d$,则此时 $(k_0, m_0) = 1$,且 $kx \equiv l \pmod m$ 等价于解(直接运用刚才的定理 1 即可得到)

\begin{equation} k_0 x \equiv l_0 \pmod {m_0} ~. \end{equation}
而此时 $(k_0, m_0) = 1$,故这仅有一组解。考虑设这组解是 $x \equiv x_0 \pmod {m_0}$,则 $\forall c \in \mathbb Z$,$x = x_0 + c m_0$ 都是解。

   而原方程 $kx \equiv l \pmod m$ 就是遍历所有整数 $c$ 得到的。而

\begin{equation} x_0 + c m_0 \equiv x_0 + b m_0 \pmod m ~~ \end{equation}
当且仅当 $m | (m_0 (c - b))$,也就是 $d | (c - b)$。从而恰有 $d$ 组解
\begin{equation} x_0, x_0 + m_0, x_0 + 2 m_0, \dots, x_0 + (d-1) m_0 ~. \end{equation}
证毕!


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