电磁场波动方程（均匀介质）

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　真空中的平面电磁波

　　对非磁介质

\begin{matrix} (1) & \nabla \times (\nabla \times E) = - μ_{0} \frac{\partial^{2} D}{\partial t^{2}} . \end{matrix}

平面波时

\begin{matrix} (2) & \nabla^{2} E - μ_{0} \frac{\partial^{2} D}{\partial t^{2}} = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & D = ϵ_{0} E + P = ϵ_{0} (1 + \tilde{χ}) E + P^{N L} = \tilde{ϵ} E + P^{N L}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} E - μ_{0} \tilde{ϵ} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = μ_{0} \frac{\partial^{2} P^{N L}}{\partial t^{2}} . \end{matrix}

　　波浪号表示复数， $\tilde{ϵ}$ 和 $\tilde{χ}$ 都只是 $ω$ 而不是场强的函数。先来看线性的情况（ $P^{N L} = 0$ ），例如洛伦兹模型。

\begin{matrix} (5) & \nabla^{2} E - μ_{0} \tilde{ϵ} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = 0 . \end{matrix}

（见齐次波动方程，先做时间傅里叶变换，再解齐次亥姆霍兹方程，通解是所有平面波）然而这里的

{\tilde{k}}^{2} = μ_{0} \tilde{ϵ} ω

是复数，平面波变为指数衰减的单频单向波。以

z

方向传播

x

方向极化为例，令

\tilde{k} = k + κ

\begin{matrix} (6) & E_{x} (z, t) = {\tilde{E}}_{0 x} e^{i (\tilde{k} z - ω t)} = {\tilde{E}}_{0 x} e^{- κ z} e^{i (k z - ω t)}, \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \tilde{k} = ω \sqrt{μ_{0} \tilde{ϵ}} = \frac{ω}{c} \sqrt{1 + χ^{(1)}}, \end{matrix}

通解仍然为所有可能的单频单向波的线性组合。实折射率和吸收系数定义为

\begin{matrix} (8) & n = \frac{c k}{ω} = Re [\sqrt{1 + χ^{(1)}}] \approx 1 + \frac{1}{2} Re [χ^{(1)}], \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & α = 2 κ = \frac{2 ω}{c} Im [\sqrt{1 + χ^{(1)}}] \approx \frac{ω}{c} Im [χ^{(1)}], \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & \tilde{ϵ} = ϵ_{0} (n + i α c / 2 ω)^{2} . \end{matrix}

　　注意区分 $ϵ$ （permittivity）， $ϵ_{r}$ （dielectric constant）和 $χ$ （susceptivility）。不同的书符号可能不一样，以名称和语境为准。

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