Cantor-Bernstein 定理

贡献者： 零穹

　　 康托尔-伯恩斯坦（Cantor-Bernstein）定理是集论中的一个基本定理，它给出了一种两个集对等的判据。

　　 证明：不失一般性，可以认为 $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$，因为不然的话，相交的部分可以建立自身的一一对应关系，这时又回到只需讨论不相交部分的情形。

　　 设 $x$ 是 $A$ 中任一元素。令 $x=x_0$，我们这样定义序列 $\{x_n\}$：设 $x_n$ 已经确定，于是当 $n$ 为偶数时，取满足 $g(x_{n+1})=x_n$ 的 $B$ 中元素作为 $x_{n+1}$（如果它存在的话）；而当 $n$ 为奇数时，取满足 $f(x_{n+1})=x_n$ 的 $A$ 中元素作为 $x_{n+1}$（若存在的话）。于是，可能出现以下两种情况：

1. 对某一 $n$，满足上述条件的元素 $x_{n+1}$ 不存在。这样的数 $n$ 叫作元素 $x$ 的阶；
2. 序列 $\{x_n\}$ 是无限的。这时 $x$ 称为无限阶的元素。

　　 显然，在序列 $\{x_n\}$ 中，偶数项的 $x_n\in A$，奇数项的 $x_n\in B$。现在集 $A$ 被分成三类：由偶数阶元素组成的集 $A_E$，奇数阶元素组成的集 $A_O$，及一切无穷阶元素组成的集 $A_I$。对于集 $B$ 也由类似的方法分成三类集。

　　 显然，若 $x=x_0\in A$ 是偶数（奇数）阶的，那么 $x_1\in B$ 就是奇数（偶数）阶的，因为由 $x=x_0\in A$ 定义的序列 $\{x_n\}$ 与 $x_1=y_0$ 定义的序列 $\{y_n\}$ 仅相差一个 $x_0$，于是这两序列的元素个数必定一偶一奇。而 $g(x_1)=x_0$，所以 $g$ 将 $B_E$ 映射到 $A_O$ 及将 $B_I$ 的元素映到 $A_I$ 上；同理，$f^{-1}$ 将 $B_O$ 映到 $A_E$ 上。于是与 $g$ 在 $B_E\cup B_I$ 上重合及与 $f^{-1}$ 在 $B_O$ 上重合的一一映射 $\psi$ 是全 $B$ 到全 $A$ 的一一映射。（这里的 “全” 是因为 $g$ 将 $B$ 一一映射到 $A_1$ 上，所以所有 $B_E,B_I$ 的元素都被映到 $A_O,A_I$ 上；同样 $f$ 将所有 $A_E$ 元素映到 $B_O$，即 $f^{-1}$ 将 $B_O$ 映到的 $A_E$ 的每一元素上；此外，奇数阶的元素一定有对应的元素，所以 $\psi$ 的定义域和值域都是 “全” 的）

　　 证毕！