线性相关与线性组合

                     

贡献者： ACertainUser; addis

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预备知识　分块矩阵，线性方程组解的结构
图
图 1：v1,v2,v3 线性相关，而 v1,v2,v4 线性无关

定义 1　线性相关

　　 对于一组向量 α1,α2,α3,...，若存在不全为 0 的k1,k2,...，使 k1α1+k2α2+k3α3+...=0，即称 α1,α2,α3,... 线性相关。

　　 反之，若只当k1=k2=...=0 时，k1α1+k2α2+k3α3+...=0，则 α1,α2,α3,... 线性无关。

定义 2　线性组合、线性表出

　　 对于一组向量 α1,α2,α3,... 与一个向量 β，若存在 k1,k2,...，使 k1α1+k2α2+k3α3+...=β，则称 β 是 α1,α2,α3,... 的线性组合。

定理 1　

　　 若 β 是 α1,α2,α3,... 的线性组合，则 β,α1,α2,α3,... 必线性相关。

定理 2　

　　 若 α1,α2,α3,...,αn 线性相关，则 α1,α2,α3,...,αn,αn+1,αn+2,... 必线性相关。

定理 3　

　　 m 个 n 阶向量（m>n）必线性相关。

1. 线性相关、线性表出与线性方程组

线性相关

　　 根据分块矩阵，k1α1+k2α2+k3α3+...=0 可记为 (α1α2α3...)(k1k2k3...)=0⇔Ak=0 . 这将线性相关问题化为线性方程组问题：若 Ak=0 有非零解，则线性相关，否则线性无关。

线性表出

　　 同理， (α1α2α3...)(k1k2k3...)=b⇔Ak=b . 这将线性组合问题化为线性方程组问题：若 Ak=b 有解，则 β 是 α1,α2,α3,... 的线性组合。


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