贡献者： ACertainUser; addis
图 1：v1,v2,v3 线性相关，而 v1,v2,v4 线性无关
定义 1 线性相关
对于一组向量 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$，若存在不全为 0 的$k_1,k_2,...$，使 $k_1 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1+k_2 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2+k_3 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3+...=0$，即称 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 线性相关。
反之，若只当$k_1=k_2=...=0$ 时，$k_1 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1+k_2 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2+k_3 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3+...=0$，则 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 线性无关。
定义 2 线性组合、线性表出
对于一组向量 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 与一个向量 $\beta$，若存在 $k_1,k_2,...$，使 $k_1 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1+k_2 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2+k_3 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3+...=\beta$，则称 $\beta$ 是 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 的线性组合。
定理 1
若 $\beta$ 是 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 的线性组合，则 $\beta, \alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 必线性相关。
定理 2
若 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n$ 线性相关，则 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n,\alpha_{n+1},\alpha_{n+2},...$ 必线性相关。
定理 3
m 个 n 阶向量（m>n）必线性相关。
1. 线性相关、线性表出与线性方程组
线性相关
根据分块矩阵，$k_1 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1+k_2 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2+k_3 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3+...=0$ 可记为
$$
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1& \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2& \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3&...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
k_{1}\\
k_{2}\\
k_{3}\\
...\\
\end{pmatrix}
=
0
\Leftrightarrow
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{k}} = 0~.
$$
这将线性相关问题化为线性方程组问题：若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{k}} = 0$ 有非零解，则线性相关，否则线性无关。
线性表出
同理，
$$
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1& \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2& \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3&...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
k_{1}\\
k_{2}\\
k_{3}\\
...\\
\end{pmatrix}
=
\boldsymbol{\mathbf{b}}
\Leftrightarrow
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{k}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} ~.
$$
这将线性组合问题化为线性方程组问题：若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{k}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 有解，则 $\beta$ 是 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 的线性组合。
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