线性相关与线性组合

                     

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预备知识 线性相关性
图
图 1:v1,v2,v3 线性相关,而 v1,v2,v4 线性无关

定义 1 线性相关

   对于一组向量 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$,若存在不全为 0 的$k_1,k_2,...$,使 $k_1 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1+k_2 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2+k_3 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3+...=0$,即称 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 线性相关.

   反之,若只当$k_1=k_2=...=0$ 时,$k_1 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1+k_2 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2+k_3 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3+...=0$,则 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 线性无关.

定义 2 线性组合、线性表出

   对于一组向量 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 与一个向量 $\beta$,若存在 $k_1,k_2,...$,使 $k_1 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1+k_2 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2+k_3 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3+...=\beta$,则称 $\beta$ 是 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 的线性组合.

定理 1 

   若 $\beta$ 是 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 的线性组合,则 $\beta, \alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 必线性相关.

定理 2 

   若 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n$ 线性相关,则 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n,\alpha_{n+1},\alpha_{n+2},...$ 必线性相关.

定理 3 

   m 个 n 阶向量(m>n)必线性相关.

1. 线性相关、线性表出与线性方程组

预备知识 分块矩阵,线性方程组解的结构

线性相关

   根据分块矩阵,$k_1 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1+k_2 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2+k_3 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3+...=0$ 可记为 $$ \begin{pmatrix} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1& \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2& \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3&... \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_{1}\\ k_{2}\\ k_{3}\\ ...\\ \end{pmatrix} = 0 \Leftrightarrow \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{k}} = 0 $$ 这将线性相关问题化为线性方程组问题:若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{k}} = 0$ 有非零解,则线性相关,否则线性无关.

线性表出

   同理, $$ \begin{pmatrix} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _1& \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _2& \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _3&... \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_{1}\\ k_{2}\\ k_{3}\\ ...\\ \end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{b}} \Leftrightarrow \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{k}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} $$ 这将线性组合问题化为线性方程组问题:若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{k}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 有解,则 $\beta$ 是 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,...$ 的线性组合.


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