舒尔引理(Schur's lemma)

                     

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   本章节分为两个部分,前半部分从线性空间的角度进行严格定义并进行证明,后半部分通过矩阵的语言表述并进行证明。供读者自行选择阅读。

1. 线性空间角度定义

引理 1 舒尔引理

   设 $(\phi,V)$ 和 $(\psi,W)$ 是群 $G$ 的两个不可约 $K-$ 表示,其中 $K$ 是代数闭域。设 $\sigma$ 是域 $K$ 上有限维线性空间 $V$ 到 $W$ 的一个线性变换使得

\begin{equation} \psi(g)\sigma =\sigma \phi(g) \qquad (\forall g \in G)~. \end{equation}
(i) 如果 $\phi$ 和 $\psi$ 不等价,则 $\sigma=0$;
(ii) 如果 $V=W$ 并且有 $\phi=\psi$,则 $\sigma=\lambda1_V$,其中 $\lambda$ 是 $K$ 中某个元素。

2. 矩阵语言

   我们可以将前文定义的舒尔引理拆成两部分并逐一证明。

引理 2 舒尔引理 I

   设矩阵群 $D(G)$ 是群 $G$ 在复空间的一个不可约表示,若矩阵 $M$ 与全部群元的表示矩阵都对易,则 $M$ 必是常数矩阵。

   证明:在表示空间中选取一组基后,考虑矩阵 $M$ 的本征值问题:$My=\lambda y$

   矩阵 $M$ 在复数域中至少有一个本征值 $\lambda$,对应与本征值 $\lambda$ 至少有一个本征矢量,考虑对应于本征值 $\lambda$ 的本征子空间 $V_\lambda$。

   考虑 $M$ 与所有表示矩阵对易,$\forall g\in G,\forall y\in V_\lambda$,

\begin{align} MD(g)y=D(g)My=D(g)\lambda y=\lambda D(g)y~. \end{align}

   则 $M$ 的本征子空间 $V_\lambda$ 是 $V$ 的 $G$ 不变子空间。由于表示 D(g)是不可约表示,即没有非平庸的不可约表示。则 $V_\lambda=\{0\}$ 或 $V$。则有 $M=\lambda I$

引理 3 舒尔引理 II

   设维数分别为 $n_1$ 和 $n_2$ 维的对于任意群元 $g$ 的两个不可约表示 $D^{(1)}(g)$ 和 $D^{(2)}(g)$ 之间存在矩阵 $M$ 使得:

\begin{equation} \forall g\in G,D^{(1)}(g)M=MD^{(2)}(g)~. \end{equation}
则当 $M\neq 0$ 时,有 $M$ 可逆,$D^{(1)}(g)$ 与 $D^{(2)}(g)$ 等价。


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