舒尔引理（Schur's lemma）
贡献者： certain_pineapple; addis
- 本文处于草稿阶段。
- 本文需要更多参考文献。
- 本文存在未完成的内容。
- 本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。
本章节分为两个部分，前半部分从线性空间的角度进行严格定义并进行证明，后半部分通过矩阵的语言表述并进行证明。供读者自行选择阅读。
1. 线性空间角度定义
引理 1 舒尔引理
设 $(\phi,V)$ 和 $(\psi,W)$ 是群 $G$ 的两个不可约 $K-$ 表示，其中 $K$ 是代数闭域。设 $\sigma$ 是域 $K$ 上有限维线性空间 $V$ 到 $W$ 的一个线性变换使得
\begin{equation}
\psi(g)\sigma =\sigma \phi(g) \qquad (\forall g \in G)~.
\end{equation}
(i) 如果 $\phi$ 和 $\psi$ 不等价，则 $\sigma=0$；
(ii) 如果 $V=W$ 并且有 $\phi=\psi$，则 $\sigma=\lambda1_V$，其中 $\lambda$ 是 $K$ 中某个元素。
2. 矩阵语言
我们可以将前文定义的舒尔引理拆成两部分并逐一证明。
引理 2 舒尔引理 I
设矩阵群 $D(G)$ 是群 $G$ 在复空间的一个不可约表示，若矩阵 $M$ 与全部群元的表示矩阵都对易，则 $M$ 必是常数矩阵。
证明：在表示空间中选取一组基后，考虑矩阵 $M$ 的本征值问题:$My=\lambda y$
矩阵 $M$ 在复数域中至少有一个本征值 $\lambda$，对应与本征值 $\lambda$ 至少有一个本征矢量，考虑对应于本征值 $\lambda$ 的本征子空间 $V_\lambda$。
考虑 $M$ 与所有表示矩阵对易，$\forall g\in G,\forall y\in V_\lambda$,
\begin{align}
MD(g)y=D(g)My=D(g)\lambda y=\lambda D(g)y~.
\end{align}
则 $M$ 的本征子空间 $V_\lambda$ 是 $V$ 的 $G$ 不变子空间。由于表示 D(g)是不可约表示，即没有非平庸的不可约表示。则 $V_\lambda=\{0\}$ 或 $V$。则有 $M=\lambda I$
引理 3 舒尔引理 II
设维数分别为 $n_1$ 和 $n_2$ 维的对于任意群元 $g$ 的两个不可约表示 $D^{(1)}(g)$ 和 $D^{(2)}(g)$ 之间存在矩阵 $M$ 使得：
\begin{equation}
\forall g\in G,D^{(1)}(g)M=MD^{(2)}(g)~.
\end{equation}
则当 $M\neq 0$ 时，有 $M$ 可逆，$D^{(1)}(g)$ 与 $D^{(2)}(g)$ 等价。
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