贡献者： _Eden_
1. 简单晶格
晶格的势能和力常数
从一维晶格的动力学推广到三维晶格的动力学是容易的，以简单晶格为例，假设晶体的原胞数为 $N$，每个原胞中仅含一个原子，其质量为 $M$。晶体中第 $l$ 个原胞的原子的平衡位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} _l=\sum_{i=1}^3 l_i \boldsymbol{\mathbf{a}} _i$，偏离平衡位置的位移为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _l$。即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{X}} _l(t)= \boldsymbol{\mathbf{R}} _l+ \boldsymbol{\mathbf{u}} _l(t)~.
\end{equation}
晶格振动的总动能为
\begin{equation}
T=\frac{1}{2}\sum_{l,a} M \dot{u_l^\alpha}\dot{u_l^\alpha},\alpha=x,y,z~.
\end{equation}
为了描述晶格的动力学，需要知道这个多体体系的势能。设平衡状态晶体的势能为 $\Phi_0$，平衡状态为势能最低点，那么它在平衡位置处关于原子位移的一阶导也为 $0$。我们关注其二阶导
\begin{equation}
\Phi_{\alpha\beta}(l,l')= \left( \frac{\partial ^2\Phi}{\partial u_l^\alpha\partial u_{l'}^\beta} \right) _{ \boldsymbol{\mathbf{u}} =0}=\Phi_{\alpha\beta}(l-l')=\Phi_{\beta\alpha}(l'-l)~.
\end{equation}
因此我们可以将系统的势能在平衡态附近进行泰勒展开，其二次项系数就是 $\Phi_{\alpha\beta}(l,l')$。类似于晶格振动的动力学过程，原子偏离平衡态的位移是微小的，于是我们暂时地忽略高次项的影响。$\Phi_{\alpha\beta}(l,l')$ 的物理意义是：$l'$ 的原子沿 $\beta$ 方向位移单位距离时，它对 $l$ 原子的作用力沿 $-\alpha$ 方向的分量。因此它被称为
力常数。换言之，
\begin{equation}
F_\alpha(l)=- \frac{\partial \Phi}{\partial u_l^\alpha} =-\sum_{l'\beta}\Phi_{\alpha\beta}(l-l')u_{l'}^\beta~.
\end{equation}
当刚体作整体平移时，原子仍处于平衡状态，所以可以得到力常数的关系式
\begin{equation}
\sum_{l'}\Phi_{\alpha\beta}(l-l')=0~.
\end{equation}
晶格的振动
定义 $\Delta \Phi=\Phi-\Phi_0$（相当于重新选择能量零点为基态能量），对晶体的势能泰勒展开到二次方项，我们将哈密顿量简写为
\begin{equation}
H=T+\Delta \Phi=\frac{1}{2M}\sum_{l,\alpha}p_l^\alpha p_l^\alpha + \frac{1}{2}\sum_{l,a}\sum_{l',\beta}\Phi_{\alpha\beta}(l-l')u_l^\alpha u_{l'}^\beta~.
\end{equation}
根据
式 4 ，对于每一个原子，可以写出牛顿方程
\begin{equation}
M \ddot{u}_l^\alpha = -\sum_{l',\beta}\Phi_{\alpha\beta}(l-l')u_{l'}^\beta~.
\end{equation}
从分析力学的角度看，$u_l^\alpha$ 是广义坐标，$p_l^\alpha=M\dot{u}_l^\alpha$ 为其共轭动量。而上述方程就是哈密顿正则方程 $\dot{p_l^\alpha}=- \frac{\partial H}{\partial u_l^\alpha} $。后面我们将看到，在正则量子化之后，$u_l^\alpha$ 和 $p_l^\alpha$ 将满足对易关系式，而晶格的振动能量将不再是连续的，而是分立的。晶格的振动激发就是我们所称的 “声子”。
每一种振动模式对应一种声子的激发，而当振动模式具有平面波的形式时，它将对应于特定动量的声子。我们希望求出振动模式的具体形式。设格波解
\begin{equation}
u_l^\alpha = u^\alpha( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \exp\left(i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} _l\right) ~,
\end{equation}
则这一格波对应于波长 $2\pi/| \boldsymbol{\mathbf{k}} |$ 的集体振动。代入
式 7 后得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
M\ddot{u}^\alpha( \boldsymbol{\mathbf{k}} )&=-\sum_{\beta}\sum_{l'}\Phi_{\alpha\beta}(l-l')u^\beta( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \exp\left(-i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot( \boldsymbol{\mathbf{R}} _l- \boldsymbol{\mathbf{R}} _l')\right) ~,\\
\ddot{u}^\alpha( \boldsymbol{\mathbf{k}} )&=-\sum_{\beta}D_{\alpha\beta}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )u^\beta( \boldsymbol{\mathbf{k}} )~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $D_{\alpha\beta}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )$ 与 $l$ 无关，这是由于晶格的周期性边界条件和平移不变性。它的表达式为
\begin{equation}
D_{\alpha\beta}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )=\frac{1}{M}\sum_l \Phi_{\alpha\beta}(l) \exp\left(-i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} _l\right) ~.
\end{equation}
因此，我们通过假设格波解的方式，将原来的 $3N$ 个方程转变为 $3$ 个方程。$D_{\alpha\beta}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )$ 是 $3\times 3$ 矩阵，它对应于力常数的傅里叶变换，也被称为动力矩阵。继续设 $u( \boldsymbol{\mathbf{k}} )$ 有一个 $ \exp\left(-i\omega t\right) $ 的因子，则可以得到动力矩阵的本征方程
\begin{equation}
\omega^2 u^\alpha( \boldsymbol{\mathbf{k}} )=\sum_{\beta}D_{\alpha\beta}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )u^\beta( \boldsymbol{\mathbf{k}} )~.
\end{equation}
$\omega$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 所满足的
色散关系由久期方程决定
\begin{equation}
\rm{det} |D_{\alpha\beta}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )-\omega^2\delta_{\alpha\beta}|=0~.
\end{equation}
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