晶格动力学

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 晶格振动导论,一维双原子链晶格

1. 简单晶格

晶格的势能和力常数

   从一维晶格的动力学推广到三维晶格的动力学是容易的,以简单晶格为例,假设晶体的原胞数为 $N$,每个原胞中仅含一个原子,其质量为 $M$.晶体中第 $l$ 个原胞的原子的平衡位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} _l=\sum_{i=1}^3 l_i \boldsymbol{\mathbf{a}} _i$,偏离平衡位置的位移为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _l$.即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{X}} _l(t)= \boldsymbol{\mathbf{R}} _l+ \boldsymbol{\mathbf{u}} _l(t) \end{equation}
晶格振动的总动能为
\begin{equation} T=\frac{1}{2}\sum_{l,a} M \dot{u_l^\alpha}\dot{u_l^\alpha},\alpha=x,y,z \end{equation}
为了描述晶格的动力学,需要知道这个多体体系的势能.设平衡状态晶体的势能为 $\Phi_0$,平衡状态为势能最低点,那么它在平衡位置处关于原子位移的一阶导也为 $0$.我们关注其二阶导
\begin{equation} \Phi_{\alpha\beta}(l,l')= \left( \frac{\partial ^2\Phi}{\partial u_l^\alpha\partial u_{l'}^\beta} \right) _{ \boldsymbol{\mathbf{u}} =0}=\Phi_{\alpha\beta}(l-l')=\Phi_{\beta\alpha}(l'-l) \end{equation}
因此我们可以将系统的势能在平衡态附近进行泰勒展开,其二次项系数就是 $\Phi_{\alpha\beta}(l,l')$.类似于晶格振动的动力学过程,原子偏离平衡态的位移是微小的,于是我们暂时地忽略高次项的影响.$\Phi_{\alpha\beta}(l,l')$ 的物理意义是:$l'$ 的原子沿 $\beta$ 方向位移单位距离时,它对 $l$ 原子的作用力沿 $-\alpha$ 方向的分量.因此它被称为力常数.换言之,
\begin{equation} F_\alpha(l)=- \frac{\partial \Phi}{\partial u_l^\alpha} =-\sum_{l'\beta}\Phi_{\alpha\beta}(l-l')u_{l'}^\beta \end{equation}

   当刚体作整体平移时,原子仍处于平衡状态,所以可以得到力常数的关系式

\begin{equation} \sum_{l'}\Phi_{\alpha\beta}(l-l')=0 \end{equation}

晶格的振动

   定义 $\Delta \Phi=\Phi-\Phi_0$(相当于重新选择能量零点为基态能量),对晶体的势能泰勒展开到二次方项,我们将哈密顿量简写为

\begin{equation} H=T+\Delta \Phi=\frac{1}{2M}\sum_{l,\alpha}p_l^\alpha p_l^\alpha + \frac{1}{2}\sum_{l,a}\sum_{l',\beta}\Phi_{\alpha\beta}(l-l')u_l^\alpha u_{l'}^\beta \end{equation}
根据式 4 ,对于每一个原子,可以写出牛顿方程
\begin{equation} M \ddot{u}_l^\alpha = -\sum_{l',\beta}\Phi_{\alpha\beta}(l-l')u_{l'}^\beta \end{equation}
从分析力学的角度看,$u_l^\alpha$ 是广义坐标,$p_l^\alpha=M\dot{u}_l^\alpha$ 为其共轭动量.而上述方程就是哈密顿正则方程 $\dot{p_l^\alpha}=- \frac{\partial H}{\partial u_l^\alpha} $.后面我们将看到,在正则量子化之后,$u_l^\alpha$ 和 $p_l^\alpha$ 将满足对易关系式,而晶格的振动能量将不再是连续的,而是分立的.晶格的振动激发就是我们所称的 “声子”.

   每一种振动模式对应一种声子的激发,而当振动模式具有平面波的形式时,它将对应于特定动量的声子.我们希望求出振动模式的具体形式.设格波解

\begin{equation} u_l^\alpha = u^\alpha( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \exp\left(i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} _l\right) \end{equation}
则这一格波对应于波长 $2\pi/| \boldsymbol{\mathbf{k}} |$ 的集体振动.代入 式 7 后得到
\begin{equation} \begin{aligned} M\ddot{u}^\alpha( \boldsymbol{\mathbf{k}} )&=-\sum_{\beta}\sum_{l'}\Phi_{\alpha\beta}(l-l')u^\beta( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \exp\left(-i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot( \boldsymbol{\mathbf{R}} _l- \boldsymbol{\mathbf{R}} _l')\right) \\ \ddot{u}^\alpha( \boldsymbol{\mathbf{k}} )&=-\sum_{\beta}D_{\alpha\beta}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )u^\beta( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \end{aligned} \end{equation}
其中 $D_{\alpha\beta}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )$ 与 $l$ 无关,这是由于晶格的周期性边界条件和平移不变性.它的表达式为
\begin{equation} D_{\alpha\beta}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )=\frac{1}{M}\sum_l \Phi_{\alpha\beta}(l) \exp\left(-i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} _l\right) \end{equation}
因此,我们通过假设格波解的方式,将原来的 $3N$ 个方程转变为 $3$ 个方程.$D_{\alpha\beta}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )$ 是 $3\times 3$ 矩阵,它对应于力常数的傅里叶变换,也被称为动力矩阵.继续设 $u( \boldsymbol{\mathbf{k}} )$ 有一个 $ \exp\left(-i\omega t\right) $ 的因子,则可以得到动力矩阵的本征方程
\begin{equation} \omega^2 u^\alpha( \boldsymbol{\mathbf{k}} )=\sum_{\beta}D_{\alpha\beta}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )u^\beta( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \end{equation}
$\omega$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 所满足的色散关系由久期方程决定
\begin{equation} \rm{det} |D_{\alpha\beta}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )-\omega^2\delta_{\alpha\beta}|=0 \end{equation}


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利