交错级数的收敛性判别

                     

贡献者: DTSIo

预备知识 绝对收敛与条件收敛

   在词条 绝对收敛与条件收敛中已经解释过,条件收敛级数的收敛性完全是由相邻项的正负抵消导致的,而其各项绝对值组成的级数并不收敛.在这种情况下,仍然有两个判别法能够判断级数是否收敛.

定理 1 阿贝尔-迪利克雷判别法 (Abel-Dirichlet Test)

   设 $\{a_n\}$ 是单调的实数序列,$\{b_n\}$ 是复数序列.

  1. 如果 $\{a_n\}$ 单调下降至零,而且存在常数 $M > 0$ 使得 $$ \left|\sum_{n=1}^N b_n\right|\leq M $$ 对于任意 $N$ 都成立,那么级数 $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ 收敛.
  2. 如果 $\{a_n\}$ 是单调有界序列,而级数 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛,那么级数 $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ 收敛.

   证明. 命部分和 $S_N=\sum_{n=1}^N a_nb_n$, $B_N=\sum_{n=1}^N b_n$. 利用如下的分部求和公式: $$ S_N=a_NB_N+\sum_{k=1}^{N-1}B_k(a_{k}-a_{k+1}). $$

  1. 如果 $\{a_n\}$ 单调下降至零,而且存在常数 $M > 0$ 使得 $$ |B_N|=\left|\sum_{n=1}^N b_n\right|\leq M $$ 对于任意 $N$ 都成立,那么当 $N\to\infty$ 时 $a_NB_N\to0$, 而级数 $$ \sum_{k=1}^{\infty}B_k(a_{k}-a_{k+1}) $$ 是绝对收敛的,因为它的一般项绝对值组成的级数由望远镜级数 $$ \sum_{k=1}^{\infty}M|a_{k}-a_{k+1}| =M\sum_{k=1}^{\infty}(a_{k}-a_{k+1}) $$ 所控制(这里用到了序列 $\{a_n\}$ 是单调下降的). 由此极限 $\lim_{N\to\infty}S_N$ 存在,从而级数 $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ 收敛.
  2. 如果 $\{a_n\}$ 是单调有界序列(从而有极限,设为 $a$), 而级数 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 的和为复数 $B$, 那么根据与上一小节类似的理由,可得到级数 $$ \sum_{k=1}^{\infty}B_k(a_{k}-a_{k+1}) $$ 的绝对收敛性,而当 $N\to\infty$ 时 $a_NB_N\to aB$. 由此极限 $\lim_{N\to\infty}S_N$ 存在,从而级数 $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ 收敛.

   这样,不论在哪种情形,级数 $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ 都收敛.证毕.

例 1 某些三角级数的收敛性

   这是一个令人惊讶的事实:如果 $\{a_n\}$ 是单调递减至零的正数序列,那么只要 $x\neq 2k\pi$, 级数 $$ \sum_{n=1}^\infty a_n \mathrm{e} ^{inx} $$ 就是收敛的,不论级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 本身收敛性如何.

   实际上,利用等比级数求和法,$x\neq 2k\pi$ 时,部分和序列 $$ \left|\sum_{n=1}^N \mathrm{e} ^{inx}\right| =\left|\frac{1- \mathrm{e} ^{i(N+1)x}}{1- \mathrm{e} ^{ix}}\right| \leq\frac{2}{\left|\sin\frac{x}{2}\right|}. $$ 这样,应用阿贝尔-迪利克雷判别法的第一条,就知道级数 $$ \sum_{n=1}^\infty a_n \mathrm{e} ^{inx} $$ 在 $x\neq 2k\pi$ 时收敛,还可以估计出收敛速度:级数的第 $N$ 个部分和同实际的和之间的差值由 $$ \frac{2a_N}{\left|\sin\frac{x}{2}\right|} $$ 所控制.当然,由此得到的收敛速度估计在 $x$ 非常接近 $2k\pi$ 时会非常粗糙.


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