直线和平面的交点

             

预备知识 高中解析立体几何,几何矢量

   若平面上任意一点为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = (p_x, p_y, p_z)$,法向量为 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} = (n_x, n_y, n_z)$.直线上一点为 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} = (s_x, s_y, s_z)$,方向为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = (v_x, v_y, v_z)$,求射线与平面的交点.注意 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 不必是单位矢量.

   平面方程为

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} = 0 \end{equation}
直线的参数方程为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = \lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{s}} \end{equation}
式 2 代入式 1 解得
\begin{equation} \lambda = \frac{( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{s}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} }{ \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} } \end{equation}
再代入式 2 得交点为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = \frac{( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{s}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} }{ \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} } \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{s}} \end{equation}

   (未完成:给出 Matlab 代码)

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