波的能量

             

预备知识 一维波动方程,二项式定理(非整数幂)

1. 波的能量

   当机械波传播到介质中的某处时,该处原来不动的质点开始振动,因而具有动能,同时该处的介质也将产生形变,因而也具有势能

   波动传播时,介质由近及远地振动着,由此可见,能量是向外传播的.这是波动的重要特征.

图
图 1:一小段线元

   如图 1 所示,在弦线上在 $x$ 处取线元 $\Delta x$,设弦线的线密度(单位长度的质量)为 $\rho_l$,其质量为 $\rho_l\Delta x$. 当弦线中有平面简谐波传播时,设波函数为

\begin{equation} y=A \cos \left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_{0}\right] \end{equation}
线元的动能为
\begin{equation} \Delta E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} \rho_{l} \Delta x\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2} \end{equation}
弦线上有张力作用,线元由原长 $\Delta x$ 变为 $\Delta l$,也就是说伸长了 $\Delta l-\Delta x$.这是在张力的作用下伸长的,即它的弹性势能应等于弦张力 $F$ 在线元伸长过程中做的功,也就是
\begin{equation} \Delta E_{\mathrm{p}}=F(\Delta l-\Delta x) \end{equation}
在 $\Delta x$ 很小时
\begin{equation} \begin{aligned} \Delta l &=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\Delta x\left[1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \\ & \approx \Delta x\left[1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \approx \Delta x\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}\right] \end{aligned} \end{equation}
此处的最后一个约等号运用了广义二项式定理(式 1 ). 因此
\begin{equation} \Delta E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} F\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2} \Delta x \end{equation}
所以,线元的总机械能
\begin{equation} \Delta E=\Delta E_{\mathrm{k}}+\Delta E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} \rho_{l}\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2} \Delta x+\frac{1}{2} F\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2} \Delta x \end{equation}
对于平面简谐波有
\begin{equation} \Delta E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} \rho_{l} \Delta x\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2}=\frac{1}{2} \rho_{l} \Delta x \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_{0}\right] \end{equation}
\begin{equation} \Delta E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} F \Delta x\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}=\frac{1}{2} F \Delta x \frac{1}{u^{2}} \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_{0}\right] \end{equation}
由于 $u=\sqrt{\dfrac{F}{\rho_{l}}}$,所以有
\begin{equation} \Delta E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} \rho_{l} \Delta x \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_{0}\right] \end{equation}
\begin{equation} \Delta E_{\mathrm{p}}=\Delta E_{\mathrm{k}} \end{equation}
而总机械能为
\begin{equation} \Delta E=\Delta x \rho_{l} \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_{0}\right] \end{equation}

2. 能量密度

   为了更精确地描述波在介质中的分布情况,引入能量密度的概念.

   介质中单位体积的波动能量,称为波的能量密度,用 $w$ 表示.设弦线的横截面积为 $S$,其体密度为 $\rho$,它与线密度 $\rho_l$ 的关系为 $\rho_l=\rho S$.则能量密度

\begin{equation} w=\frac{\Delta E}{S \Delta x}=\rho \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_{0}\right] \end{equation}
波的能量密度是随时间而变化的,通常取其在一个周期内的平均值,用 $\overline w$ 表示,称为平均能量密度.因为正弦函数的平方在一个周期内的平均值为 $\dfrac 12$,即
\begin{equation} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin ^{2} \omega t \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \end{equation}
所以能量密度在一个周期内的平均值为
\begin{equation} \overline{w}=\frac{1}{2} \rho A^{2} \omega^{2} \end{equation}

   由上式可见,机械波的能量与振幅的平方、频率的平方都成正比.

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