线性势能的定态薛定谔方程

                     

贡献者: addis

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预备知识 定态薛定谔方程,艾里函数

\begin{equation} -\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi(x) + ax \psi(x) = E\psi(x)~. \end{equation}
变形为
\begin{equation} \psi''(x) - 2m(ax - E)\psi(x) = 0~. \end{equation}
根据 式 17 ,方程的通解为
\begin{equation} \psi(x) = C_1 \operatorname {Ai} \left(\frac{\alpha x+\beta}{ \left\lvert \alpha \right\rvert ^{2/3}} \right) + C_2 \operatorname {Bi} \left(\frac{\alpha x+\beta}{ \left\lvert \alpha \right\rvert ^{2/3}} \right) ~. \end{equation}
其中 $\alpha = 2ma$,$\beta = -2mE$。

   容易证明,若把势能改为 $V(x) = a(x-x_0)$,即向右平移 $x_0$,那么把波函数也平移 $x_0$ 变为 $\psi(x-x_0)$ 即可。

   包络线为(未完成:引用 Ai 相关性质)(符合 WKB 近似)

\begin{equation} \psi(x) \to \frac{1-1/ \mathrm{e} }{[2m(E-ax)]^{1/4}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} f(x)}~. \end{equation}


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