能量法解谐振动问题

             

预备知识 简谐振子,机械能守恒

   由于谐振动系统的总能量是常量,反过来我们可以用机械能守恒定律来导出谐振动的运动方程.仍以弹簧振子为例,在任一时刻,振子作谐振动的总机械能等于势能加上动能,即

\begin{equation} E=E_{\mathrm k}+E_{\mathrm p}=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} k x^{2} \end{equation}
由于总机械能 $E$ 是常量,不随时间而改变,上式对时间 $t$ 求导得
\begin{equation} m v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}+k x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=0 \end{equation}
由速度和坐标间的关系 $v = \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{t} $,代入整理后,即得谐振动的运动方程
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}+\frac{k}{m} x=0 \end{equation}

   能量法在解简谐运动(广义来说,机械能守恒的)问题中非常有帮助,下面来看一个例题.

例 1 考虑弹簧质量的弹簧振子

   当考虑弹簧的质量时,用能量法求解弹簧振子的周期.设弹簧的质量为 $m_0$,且小于振动物体的质量 $m$,弹簧的劲度系数为 $k$,弹簧的原长为 $L$.

图
图 1:考虑弹簧质量的弹簧振子

   在振动过程中任一时刻,设物体的位移为 $x $,速度为 $v$.如图 1 所示.弹簧振动时,可以认为弹簧在振动的任一时刻内,各等长小段的变形相同,弹簧各截面处的位移是线性变化的.在离弹簧固定端距离 $l$ 的地方取一小段微元长度 $\mathrm dl$,质量即为 $\dfrac{m^\prime}{L}\mathrm{d}l$,位移为 $\dfrac{x}{L}l$,因而该段微元长度的速度就等于 $\dfrac{v}{L}l$,写出其微元动能的表达式:

\begin{equation} \mathrm{d} E_{\mathrm{k}}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\frac{m^{\prime}}{L} \mathrm{d} l\right)\left(\frac{l}{L} v\right)^{2}=\frac{m^{\prime} v^{2}}{2 L^{3}} l^{2} \mathrm{d} l \end{equation}
积分,可得整个弹簧的动能:
\begin{equation} E_{\mathrm{k}}^{\prime}=\int_{0}^{L} \frac{m^{\prime} v^{2}}{2 L^{3}} l^{2} \mathrm{d} l=\frac{1}{2} \frac{m^{\prime}}{3} v^{2} \end{equation}
于是,整个弹簧振子系统的总机械能
\begin{equation} E=\frac{1}{2} k x^{2}+\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} \frac{m^{\prime}}{3} v^{2} \end{equation}
由于整个系统没有能量损耗,所以机械能守恒,即
\begin{equation} \frac{1}{2} k x^{2}+\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} \frac{m^{\prime}}{3} v^{2}=E=\mathrm{constant} \end{equation}
将此方程对时间 $t $ 求导,得
\begin{equation} \left(m+\frac{m^{\prime}}{3}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}+k x=0 \end{equation}
将其改写成简谐振动的微分方程形式:
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}+\omega^{2} x=0 \qquad \left(\omega^{2}=\frac{k}{m+m^{\prime} / 3} \right) \end{equation}
于是可得运动周期:
\begin{equation} T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{m+m^{\prime} / 3}{k}} \end{equation}

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