贡献者： JierPeter; addis
未完成：需添加预备知识，收敛或逐点收敛，以及一致连续。
1. 一致收敛的概念
函数列 $f_n$ 逐点收敛到 $f$，只要求对于任意固定的 $x_0$，数列 $\{f_n(x_0)\}$ 收敛到 $f(x_0)$ 即可。接下来介绍的一致收敛则是一个更强的要求。
阅读过程中要牢记，谈一致收敛的时候一定是限定了定义域的。同一个函数可能在一个区间里一致收敛，但是拓展一下定义域就不一致收敛了。例 1 和例 2 中的反例，如果把定义域缩小为 $[1/3, 1/2]$，那么它们其实也是一致收敛的。
一个函数列 $f_n(x)$ 一致收敛到 $f(x)$ 的定义是：当对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $N$，当 $n \geqslant N$ 时对任意 $x$ 都有
\begin{equation}~,
\left\lvert f_n(x) - f(x) \right\rvert < \epsilon
\end{equation}
或者记为
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty} \left(\max \left\lvert f_n(x) - f(x) \right\rvert \right) = 0~,
\end{equation}
一致收敛是比（逐点）收敛更强的条件。
例 1 逐点收敛但不一致收敛的例子
在区间 $(0, 1)$ 上考虑函数列 $f_n(x)=x^n$ 和函数 $f(x)=0$，则容易验证 $f_n$ 逐点收敛到 $f$。
但是，对于任意 $\epsilon>0$ 和任意 $f_n$，总可以找到 $x\in(\epsilon^{1/n}, 1)$，使得 $f_n(x)>\epsilon$。因此按照定义，$f_n$不一致收敛到 $f$。
例 2 逐点收敛但不一致收敛的例子
在区间 $[0, 1]$ 上考虑函数列 $f_n(x)= \sin\left(\pi\cdot x^n\right) $ 和函数 $f(x)=0$，则容易验证 $f_n$ 逐点收敛到 $f$。
但是，对于任意 $\epsilon>0$ 和任意 $f_n$，总可以找到 $x=\frac{1}{2^n}$，使得 $f_n(x)=1>\epsilon$。因此按照定义，$f_n$不一致收敛到 $f$。
逐点收敛只考虑，是不是每个点都收敛。而一致收敛的威力在于，有一个统一的进度，每个点收敛的进度不得比这更慢。例 1 和例 2 里举出的反例就是如此，不管你怎么取 $\epsilon$ 作为限定，总存在跟不上进度的点，导致这种限定不是一致的。
如果 $f_n$ 一致收敛到 $f$，那么我们会看到，随着 $n$ 增大，$f_n-f$ 的上下界越来越小，像是把函数列挤压到 $x$ 轴的过程。但是不一致收敛的函数，由于总存在不听话的、跟不上进度的点，就没法把函数压平。
一致收敛还可以从 “函数之间的距离” 角度来考虑。
定义 1 函数的距离
在同一定义域上给定两个函数 $f$ 和 $g$，定义它们之间的距离为 $ \operatorname {d}(f, g)= \operatorname {sup} \left\lvert f-g \right\rvert $，即距离为函数 $ \left\lvert f-g \right\rvert $ 的上确界。
有时候也记 $ \operatorname {d}(f, g)= \left\lvert \left\lvert f, g \right\rvert \right\rvert $。
把每个函数看成 “函数的集合” 里的一个点，式 1 给出了衡量各点之间距离的方式。一致收敛的函数列，就是这个集合里一致收敛的点列。由此可见，一致收敛是一种更注重函数整体的性质。
2. 一致收敛的性质
在研究和一致收敛相关的问题时，我们可以只考虑函数列收敛到 $f(x)=0$ 的情况。这是因为 $\{f_n(x)\}$（一致）收敛到 $f(x)$，等价于说 $\{f_n(x)-f(x)\}$ 一致收敛到 $0$。
定理 1 线性性
设给定定义域上，函数列 $\{f_n\}$ 和 $\{g_n\}$ 分别一致收敛到 $f$ 和 $g$，且 $a, b$ 是任意常数，那么函数列 $\{af_n+bg_n\}$ 一致收敛到 $af+bg$ 上。
定理 2 有界乘积收敛
设给定定义域上，函数列 $\{f_n\}$ 一致收敛到 $f$ 上，且 $g$ 是一个有界函数，那么 $\{gf_n\}$ 一致收敛到 $gf$ 上。
定理 2 的一个证明思路提示：由于 $g$ 有界（设上下界绝对值中较大的为 $G$），因此 $gf_n$ 和 $gf$ 的偏差也是 “一致” 的，即不会超过 $Gf$。由此，对于给定的 $n$，如果 $ \left\lvert f_n(x)-f(x) \right\rvert <\epsilon$ 恒成立，那么 $ \left\lvert gf_n(x)-gf(x) \right\rvert < G\epsilon$ 恒成立，再由 $\epsilon$ 的任意性即可得证。
如果取 $g$ 是无界函数，那么 $g$ 的趋于无穷的点就会让 $\{gf_n\}$ 出现一个跟不上进度的点，导致 $\{gf_n\}$ 不是一致收敛的，如例 3 所述。
例 3
在 $(0, 1)$ 上考虑函数列 $\{f_n(x)=1/n\}$，显然它一致收敛到 $f(x)=0$。
取 $g(x)=1/x$，那么 $g$ 没有上下界。对于任意正整数 $n$ 和 $\epsilon>0$，总有 $x\in(0, \frac{1}{n\epsilon})$，使得 $g(x)f_n(x)>\epsilon$，从而 $\{gf_n\}$ 不一致收敛。
定理 3 双有界乘积收敛
设给定定义域上，函数列 $\{f_n\}$ 和 $\{g_n\}$ 分别一致收敛到 $f$ 和 $g$，且 $f, g$ 都是有界函数，那么 $\{f_ng_n\}$ 一致收敛到 $fg$ 上。
定理 3 的一个证明思路提示：设 $g$ 上下界中绝对值较大的为 $G$。$g_n$ 一致收敛，由一致收敛的定义，任取 $\epsilon>0$，存在正整数 $N$，使得编号 $n>N$ 时，所有 $g_n$ 都共享上下界 $G+\epsilon$ 和 $-G-\epsilon$。这样一来，问题就可以归结为定理 2 的情况，只不过这里固定的有界函数可以取常数函数 $G$。
定理 4
设给定定义域上，函数列 $\{f_n\}$ 和 $\{g_n\}$ 分别一致收敛到 $f$ 和 $g$，且 $f$ 是有界函数，$ \left\lvert g \right\rvert $ 有一个下界 $\delta>0$，那么 $\{\frac{f_n}{g_n}\}$ 一致收敛到 $\frac{f}{g}$。
定理 4 的一个证明思路提示：利用 $ \left\lvert g \right\rvert $ 有一个非零下界，证明 $1/g_n$ 是一个有界函数，且 $1/g_n$ 一致收敛到 $1/g$。然后问题就可以归结为定理 3 的情况。
定理 5 链式收敛
设给定定义域 $X$ 上，函数列 $\{f_n\}$ 一致收敛到 $f$ 上，且在区间 $I$ 上，$h(x)$ 是一个一致连续的函数，另外对于任意 $x\in X$，都有 $f_n(x)\in I, f(x)\in I$。
那么 $h(f_n(x))$ 一致收敛到 $h(f(x))$ 上。
定理 5 的要点是，$h$ 必须是一致收敛的，不可以把条件减弱成逐点收敛。
定理 6 柯西收敛原理
函数列 $\{f_n\}$ 在定义域上一致收敛的充要条件是，对于任意 $\epsilon>0$，存在 $N$，使得对于任意正整数 $m, n>N$，都有 $ \left\lvert f_n(x)-f_m(x) \right\rvert >\epsilon$ 恒成立，或者用定义 1 的话来说，$ \left\lvert \left\lvert f_n-f_m \right\rvert \right\rvert >\epsilon$。
这里的柯西收敛原理，其实就是直接引用了度量空间里的柯西收敛原理。
定理 7 Dini 定理
如果连续函数$\{f_n\}$ 在闭区间$[a, b]$ 上逐点收敛到 $f$，且对于任意固定的 $x_0\in [a, b]$，数列 $\{f_n(x_0)\}$ 都是单调的，那么 $\{f_n\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛到 $f$。
定理 7 的一个证明思路提示：闭区间上的连续函数必然能取到最大和最小值，因此必然有界。又由于 $\{f_n(x_0)\}$ 都是单调的，进而 $\{f_n(x_0)-f(x_0)\}$ 都是单调的，因此 $f_n-f$ 的上下界也是单调函数。由于 $f_n-f$ 收敛到 $0$，因此 $f_n-f$ 的上下界都要收敛到 $0$，即 $f_n$ 和 $f$ 的距离要收敛到 $0$，从而得证。
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