一致收敛

             

  

未完成:需添加预备知识,收敛或逐点收敛,以及一致连续.

1. 一致收敛的概念

   函数列 $f_n$ 逐点收敛到 $f$,只要求对于任意固定的 $x_0$,数列 $\{f_n(x_0)\}$ 收敛到 $f(x_0)$ 即可.接下来介绍的一致收敛则是一个更强的要求.

   阅读过程中要牢记,谈一致收敛的时候一定是限定了定义域的.同一个函数可能在一个区间里一致收敛,但是拓展一下定义域就不一致收敛了.例 1 例 2 中的反例,如果把定义域缩小为 $[1/3, 1/2]$,那么它们其实也是一致收敛的.

   一个函数列 $f_n(x)$ 一致收敛到 $f(x)$ 的定义是:当对于任意 $\epsilon > 0$,存在 $N$,当 $n \geqslant N$ 时对任意 $x$ 都有

\begin{equation} \left\lvert f_n(x) - f(x) \right\rvert < \epsilon \end{equation}
或者记为
\begin{equation} \lim_{n\to\infty} \left(\max \left\lvert f_n(x) - f(x) \right\rvert \right) = 0 \end{equation}

   一致收敛是比(逐点)收敛更强的条件.

例 1 逐点收敛但不一致收敛的例子

   在区间 $(0, 1)$ 上考虑函数列 $f_n(x)=x^n$ 和函数 $f(x)=0$,则容易验证 $f_n$ 逐点收敛到 $f$.

   但是,对于任意 $\epsilon > 0$ 和任意 $f_n$,总可以找到 $x\in(\epsilon^{1/n}, 1)$,使得 $f_n(x) > \epsilon$.因此按照定义,$f_n$一致收敛到 $f$.

例 2 逐点收敛但不一致收敛的例子

   在区间 $[0, 1]$ 上考虑函数列 $f_n(x)= \sin\left(\pi\cdot x^n\right) $ 和函数 $f(x)=0$,则容易验证 $f_n$ 逐点收敛到 $f$.

   但是,对于任意 $\epsilon > 0$ 和任意 $f_n$,总可以找到 $x=\frac{1}{2^n}$,使得 $f_n(x)=1 > \epsilon$.因此按照定义,$f_n$一致收敛到 $f$.

   逐点收敛只考虑,是不是每个点都收敛.而一致收敛的威力在于,有一个统一的进度,每个点收敛的进度不得比这更慢.例 1 例 2 里举出的反例就是如此,不管你怎么取 $\epsilon$ 作为限定,总存在跟不上进度的点,导致这种限定不是一致的.

   如果 $f_n$ 一致收敛到 $f$,那么我们会看到,随着 $n$ 增大,$f_n-f$ 的上下界越来越小,像是把函数列挤压到 $x$ 轴的过程.但是不一致收敛的函数,由于总存在不听话的、跟不上进度的点,就没法把函数压平.

   一致收敛还可以从 “函数之间的距离” 角度来考虑.

定义 1 函数的距离

  

   在同一定义域上给定两个函数 $f$ 和 $g$,定义它们之间的距离为 $ \operatorname {d}(f, g)= \operatorname {sup} \left\lvert f-g \right\rvert $,即距离为函数 $ \left\lvert f-g \right\rvert $ 的上确界

   有时候也记 $ \operatorname {d}(f, g)= \left\lvert \left\lvert f, g \right\rvert \right\rvert $.

   把每个函数看成 “函数的集合” 里的一个点,式 1 给出了衡量各点之间距离的方式.一致收敛的函数列,就是这个集合里一致收敛的点列.由此可见,一致收敛是一种更注重函数整体的性质.

2. 一致收敛的性质

   在研究和一致收敛相关的问题时,我们可以只考虑函数列收敛到 $f(x)=0$ 的情况.这是因为 $\{f_n(x)\}$(一致)收敛到 $f(x)$,等价于说 $\{f_n(x)-f(x)\}$ 一致收敛到 $0$.

定理 1 线性性

   设给定定义域上,函数列 $\{f_n\}$ 和 $\{g_n\}$ 分别一致收敛到 $f$ 和 $g$,且 $a, b$ 是任意常数,那么函数列 $\{af_n+bg_n\}$ 一致收敛到 $af+bg$ 上.

定理 2 有界乘积收敛

   设给定定义域上,函数列 $\{f_n\}$ 一致收敛到 $f$ 上,且 $g$ 是一个有界函数,那么 $\{gf_n\}$ 一致收敛到 $gf$ 上.

   定理 2 的一个证明思路提示:由于 $g$ 有界(设上下界绝对值中较大的为 $G$),因此 $gf_n$ 和 $gf$ 的偏差也是 “一致” 的,即不会超过 $Gf$.由此,对于给定的 $n$,如果 $ \left\lvert f_n(x)-f(x) \right\rvert < \epsilon$ 恒成立,那么 $ \left\lvert gf_n(x)-gf(x) \right\rvert < G\epsilon$ 恒成立,再由 $\epsilon$ 的任意性即可得证.

   如果取 $g$ 是无界函数,那么 $g$ 的趋于无穷的点就会让 $\{gf_n\}$ 出现一个跟不上进度的点,导致 $\{gf_n\}$ 不是一致收敛的,如例 3 所述.

例 3 

   在 $(0, 1)$ 上考虑函数列 $\{f_n(x)=1/n\}$,显然它一致收敛到 $f(x)=0$.

   取 $g(x)=1/x$,那么 $g$ 没有上下界.对于任意正整数 $n$ 和 $\epsilon > 0$,总有 $x\in(0, \frac{1}{n\epsilon})$,使得 $g(x)f_n(x) > \epsilon$,从而 $\{gf_n\}$ 不一致收敛.

定理 3 双有界乘积收敛

   设给定定义域上,函数列 $\{f_n\}$ 和 $\{g_n\}$ 分别一致收敛到 $f$ 和 $g$,且 $f, g$ 都是有界函数,那么 $\{f_ng_n\}$ 一致收敛到 $fg$ 上.

   定理 3 的一个证明思路提示:设 $g$ 上下界中绝对值较大的为 $G$.$g_n$ 一致收敛,由一致收敛的定义,任取 $\epsilon > 0$,存在正整数 $N$,使得编号 $n > N$ 时,所有 $g_n$ 都共享上下界 $G+\epsilon$ 和 $-G-\epsilon$.这样一来,问题就可以归结为定理 2 的情况,只不过这里固定的有界函数可以取常数函数 $G$.

定理 4 

   设给定定义域上,函数列 $\{f_n\}$ 和 $\{g_n\}$ 分别一致收敛到 $f$ 和 $g$,且 $f$ 是有界函数,$ \left\lvert g \right\rvert $ 有一个下界 $\delta > 0$,那么 $\{\frac{f_n}{g_n}\}$ 一致收敛到 $\frac{f}{g}$.

   定理 4 的一个证明思路提示:利用 $ \left\lvert g \right\rvert $ 有一个非零下界,证明 $1/g_n$ 是一个有界函数,且 $1/g_n$ 一致收敛到 $1/g$.然后问题就可以归结为定理 3 的情况.

定理 5 链式收敛

   设给定定义域 $X$ 上,函数列 $\{f_n\}$ 一致收敛到 $f$ 上,且在区间 $I$ 上,$h(x)$ 是一个一致连续的函数,另外对于任意 $x\in X$,都有 $f_n(x)\in I, f(x)\in I$.

   那么 $h(f_n(x))$ 一致收敛到 $h(f(x))$ 上.

   定理 5 的要点是,$h$ 必须是一致收敛的,不可以把条件减弱成逐点收敛.

定理 6 柯西收敛原理

   函数列 $\{f_n\}$ 在定义域上一致收敛的充要条件是,对于任意 $\epsilon > 0$,存在 $N$,使得对于任意正整数 $m, n > N$,都有 $ \left\lvert f_n(x)-f_m(x) \right\rvert > \epsilon$ 恒成立,或者用定义 1 的话来说,$ \left\lvert \left\lvert f_n-f_m \right\rvert \right\rvert > \epsilon$.

   这里的柯西收敛原理,其实就是直接引用了度量空间里的柯西收敛原理.

定理 7 Dini 定理

   如果连续函数$\{f_n\}$ 在闭区间$[a, b]$ 上逐点收敛到 $f$,且对于任意固定的 $x_0\in [a, b]$,数列 $\{f_n(x_0)\}$ 都是单调的,那么 $\{f_n\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛到 $f$.

   定理 7 的一个证明思路提示:闭区间上的连续函数必然能取到最大和最小值,因此必然有界.又由于 $\{f_n(x_0)\}$ 都是单调的,进而 $\{f_n(x_0)-f(x_0)\}$ 都是单调的,因此 $f_n-f$ 的上下界也是单调函数.由于 $f_n-f$ 收敛到 $0$,因此 $f_n-f$ 的上下界都要收敛到 $0$,即 $f_n$ 和 $f$ 的距离要收敛到 $0$,从而得证.

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