一致收敛

贡献者： JierPeter; addis

未完成：需添加预备知识，收敛或逐点收敛，以及一致连续。

1. 一致收敛的概念

　　函数列 $f_{n}$ 逐点收敛到 $f$ ，只要求对于任意固定的 $x_{0}$ ，数列 ${f_{n} (x_{0})}$ 收敛到 $f (x_{0})$ 即可。接下来介绍的一致收敛则是一个更强的要求。

　　阅读过程中要牢记，谈一致收敛的时候一定是限定了定义域的。同一个函数可能在一个区间里一致收敛，但是拓展一下定义域就不一致收敛了。例 1 和例 2 中的反例，如果把定义域缩小为 $[1 / 3, 1 / 2]$ ，那么它们其实也是一致收敛的。

　　一个函数列 $f_{n} (x)$ 一致收敛到 $f (x)$ 的定义是：当对于任意 $ϵ > 0$ ，存在 $N$ ，当 $n ⩾ N$ 时对任意 $x$ 都有

\begin{matrix} (1) & , | f_{n} (x) - f (x) | < ϵ \end{matrix}

或者记为

\begin{matrix} (2) & lim_{n \to \infty} (max | f_{n} (x) - f (x) |) = 0, \end{matrix}

　　一致收敛是比（逐点）收敛更强的条件。

例 1　逐点收敛但不一致收敛的例子

　　在区间 $(0, 1)$ 上考虑函数列 $f_{n} (x) = x^{n}$ 和函数 $f (x) = 0$ ，则容易验证 $f_{n}$ 逐点收敛到 $f$ 。

　　但是，对于任意 $ϵ > 0$ 和任意 $f_{n}$ ，总可以找到 $x \in (ϵ^{1 / n}, 1)$ ，使得 $f_{n} (x) > ϵ$ 。因此按照定义， $f_{n}$ 不一致收敛到 $f$ 。

例 2　逐点收敛但不一致收敛的例子

　　在区间 $[0, 1]$ 上考虑函数列 $f_{n} (x) = \sin (π \cdot x^{n})$ 和函数 $f (x) = 0$ ，则容易验证 $f_{n}$ 逐点收敛到 $f$ 。

　　但是，对于任意 $ϵ > 0$ 和任意 $f_{n}$ ，总可以找到 $x = \frac{1}{2^{n}}$ ，使得 $f_{n} (x) = 1 > ϵ$ 。因此按照定义， $f_{n}$ 不一致收敛到 $f$ 。

　　逐点收敛只考虑，是不是每个点都收敛。而一致收敛的威力在于，有一个统一的进度，每个点收敛的进度不得比这更慢。例 1 和例 2 里举出的反例就是如此，不管你怎么取 $ϵ$ 作为限定，总存在跟不上进度的点，导致这种限定不是一致的。

　　如果 $f_{n}$ 一致收敛到 $f$ ，那么我们会看到，随着 $n$ 增大， $f_{n} - f$ 的上下界越来越小，像是把函数列挤压到 $x$ 轴的过程。但是不一致收敛的函数，由于总存在不听话的、跟不上进度的点，就没法把函数压平。

　　一致收敛还可以从 “函数之间的距离” 角度来考虑。

定义 1　函数的距离

　　在同一定义域上给定两个函数 $f$ 和 $g$ ，定义它们之间的距离为 $d (f, g) = \sup | f - g |$ ，即距离为函数 $| f - g |$ 的上确界。

　　有时候也记 $d (f, g) = | | f, g | |$ 。

　　把每个函数看成 “函数的集合” 里的一个点，式 1 给出了衡量各点之间距离的方式。一致收敛的函数列，就是这个集合里一致收敛的点列。由此可见，一致收敛是一种更注重函数整体的性质。

2. 一致收敛的性质

　　在研究和一致收敛相关的问题时，我们可以只考虑函数列收敛到 $f (x) = 0$ 的情况。这是因为 ${f_{n} (x)}$ （一致）收敛到 $f (x)$ ，等价于说 ${f_{n} (x) - f (x)}$ 一致收敛到 $0$ 。

定理 1　线性性

　　设给定定义域上，函数列 ${f_{n}}$ 和 ${g_{n}}$ 分别一致收敛到 $f$ 和 $g$ ，且 $a, b$ 是任意常数，那么函数列 ${a f_{n} + b g_{n}}$ 一致收敛到 $a f + b g$ 上。

定理 2　有界乘积收敛

　　设给定定义域上，函数列 ${f_{n}}$ 一致收敛到 $f$ 上，且 $g$ 是一个有界函数，那么 ${g f_{n}}$ 一致收敛到 $g f$ 上。

　　定理 2 的一个证明思路提示：由于 $g$ 有界（设上下界绝对值中较大的为 $G$ ），因此 $g f_{n}$ 和 $g f$ 的偏差也是 “一致” 的，即不会超过 $G f$ 。由此，对于给定的 $n$ ，如果 $| f_{n} (x) - f (x) | < ϵ$ 恒成立，那么 $| g f_{n} (x) - g f (x) | < G ϵ$ 恒成立，再由 $ϵ$ 的任意性即可得证。

　　如果取 $g$ 是无界函数，那么 $g$ 的趋于无穷的点就会让 ${g f_{n}}$ 出现一个跟不上进度的点，导致 ${g f_{n}}$ 不是一致收敛的，如例 3 所述。

例 3　

　　在 $(0, 1)$ 上考虑函数列 ${f_{n} (x) = 1 / n}$ ，显然它一致收敛到 $f (x) = 0$ 。

　　取 $g (x) = 1 / x$ ，那么 $g$ 没有上下界。对于任意正整数 $n$ 和 $ϵ > 0$ ，总有 $x \in (0, \frac{1}{n ϵ})$ ，使得 $g (x) f_{n} (x) > ϵ$ ，从而 ${g f_{n}}$ 不一致收敛。

定理 3　双有界乘积收敛

　　设给定定义域上，函数列 ${f_{n}}$ 和 ${g_{n}}$ 分别一致收敛到 $f$ 和 $g$ ，且 $f, g$ 都是有界函数，那么 ${f_{n} g_{n}}$ 一致收敛到 $f g$ 上。

　　定理 3 的一个证明思路提示：设 $g$ 上下界中绝对值较大的为 $G$ 。 $g_{n}$ 一致收敛，由一致收敛的定义，任取 $ϵ > 0$ ，存在正整数 $N$ ，使得编号 $n > N$ 时，所有 $g_{n}$ 都共享上下界 $G + ϵ$ 和 $- G - ϵ$ 。这样一来，问题就可以归结为定理 2 的情况，只不过这里固定的有界函数可以取常数函数 $G$ 。

定理 4　

　　设给定定义域上，函数列 ${f_{n}}$ 和 ${g_{n}}$ 分别一致收敛到 $f$ 和 $g$ ，且 $f$ 是有界函数， $| g |$ 有一个下界 $δ > 0$ ，那么 ${\frac{f_{n}}{g_{n}}}$ 一致收敛到 $\frac{f}{g}$ 。

　　定理 4 的一个证明思路提示：利用 $| g |$ 有一个非零下界，证明 $1 / g_{n}$ 是一个有界函数，且 $1 / g_{n}$ 一致收敛到 $1 / g$ 。然后问题就可以归结为定理 3 的情况。

定理 5　链式收敛

　　设给定定义域 $X$ 上，函数列 ${f_{n}}$ 一致收敛到 $f$ 上，且在区间 $I$ 上， $h (x)$ 是一个一致连续的函数，另外对于任意 $x \in X$ ，都有 $f_{n} (x) \in I, f (x) \in I$ 。

　　那么 $h (f_{n} (x))$ 一致收敛到 $h (f (x))$ 上。

　　定理 5 的要点是， $h$ 必须是一致收敛的，不可以把条件减弱成逐点收敛。

定理 6　柯西收敛原理

　　函数列 ${f_{n}}$ 在定义域上一致收敛的充要条件是，对于任意 $ϵ > 0$ ，存在 $N$ ，使得对于任意正整数 $m, n > N$ ，都有 $| f_{n} (x) - f_{m} (x) | > ϵ$ 恒成立，或者用定义 1 的话来说， $| | f_{n} - f_{m} | | > ϵ$ 。

　　这里的柯西收敛原理，其实就是直接引用了度量空间里的柯西收敛原理。

定理 7　Dini 定理

　　如果连续函数 ${f_{n}}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上逐点收敛到 $f$ ，且对于任意固定的 $x_{0} \in [a, b]$ ，数列 ${f_{n} (x_{0})}$ 都是单调的，那么 ${f_{n}}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛到 $f$ 。

　　定理 7 的一个证明思路提示：闭区间上的连续函数必然能取到最大和最小值，因此必然有界。又由于 ${f_{n} (x_{0})}$ 都是单调的，进而 ${f_{n} (x_{0}) - f (x_{0})}$ 都是单调的，因此 $f_{n} - f$ 的上下界也是单调函数。由于 $f_{n} - f$ 收敛到 $0$ ，因此 $f_{n} - f$ 的上下界都要收敛到 $0$ ，即 $f_{n}$ 和 $f$ 的距离要收敛到 $0$ ，从而得证。

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一致收敛

1. 一致收敛的概念

例 1 逐点收敛但不一致收敛的例子

例 2 逐点收敛但不一致收敛的例子

定义 1 函数的距离

2. 一致收敛的性质

定理 1 线性性

定理 2 有界乘积收敛

例 3

定理 3 双有界乘积收敛

定理 4

定理 5 链式收敛

定理 6 柯西收敛原理

定理 7 Dini 定理

例 1　逐点收敛但不一致收敛的例子

例 2　逐点收敛但不一致收敛的例子

定义 1　函数的距离

定理 1　线性性

定理 2　有界乘积收敛

例 3　

定理 3　双有界乘积收敛

定理 4　

定理 5　链式收敛

定理 6　柯西收敛原理

定理 7　Dini 定理