一致收敛与极限换序

贡献者： JierPeter

预备知识　一致收敛

1. 极限换序

　　函数、数列等有多个自变量存在时，我们有可能会需要考虑多重极限。比如说对于一个二元函数 $f (x, y)$ ，设它的定义域是 $x > 0, y > 0$ ，那么我们如何计算 $x \to 0, y \to 0$ 时 $f$ 的极限值呢？我们可以用以下式子来计算：

\begin{matrix} (1) & lim_{y \to 0} lim_{x \to 0} f (x, y) . \end{matrix}

　　其中，对于任意 $y > 0$ ， $f (x, y)$ 可以认为是关于 $x$ 的一元函数，这样我们就可以计算出 $lim_{x \to 0} f (x, y)$ 。对于每个 $y > 0$ ，可以定义 $g (y) = lim_{x \to 0} f (x, y)$ ，因此对二元函数 $f$ 进行第一个求极限后，得到的是一个一元函数 $g$ 。这样，我们同样也能计算出 $lim_{y \to 0} g (y)$ ，这也就是式 1 .

　　从直观的几何角度来理解， $lim_{x \to 0} f (x, y)$ 就像是求出了 $y$ 轴上的一个函数，然后 $lim_{y \to 0} lim_{x \to 0} f (x, y)$ 就是这个函数的一个极限。

　　我们也可以反过来，用

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to 0} lim_{y \to 0} f (x, y) \end{matrix}

来计算

f

的二重极限，这个时候就相当于先求了

x

轴上的一个函数，再求它的极限。

　　随之而来的问题是，式 1 和式 2 的值一样吗？换个说法就是， $f (x, y)$ 的二重极限可以交换次序吗？答案是 “不一定”，取决于函数的性质。例 1 就是一个反例。

例 1　

　　考虑函数 $f (x, y) = x^{y}$ 。我们有：

\begin{matrix} (3) & lim_{x \to 0} f (x, y) = 0 \end{matrix}

和

\begin{matrix} (4) & lim_{y \to 0} f (x, y) = 1 . \end{matrix}

　　这就导致

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} lim_{y \to 0} lim_{x \to 0} f (x, y) & = 0 \\ \neq 1 \\ = lim_{x \to 0} lim_{y \to 0} f (x, y) . \end{aligned} \end{matrix}

　　因此，对于这个 $f (x, y)$ ，极限是不可以随便换序的。

2. 一致收敛的极限换序

　　可以极限换序的函数，性质非常良好。一致收敛的函数列就拥有这个良好的性质。

定理 1　

　　设在开区间 $(a, b)$ 上，函数列 ${f_{n} (x)}$ 一致收敛。如果对于每个 $n$ ，右极限 $lim_{x \to 0^{+}} f_{n} (x)$ 都存在，那么就有

\begin{matrix} (6) & lim_{n \to \infty} lim_{x \to 0^{+}} f_{n} (x) = lim_{x \to 0^{+}} lim_{n \to \infty} f_{n} (x) . \end{matrix}

　　证明：

　　回顾一致收敛中提到的技巧，在研究和一致收敛相关的问题时，我们可以只考虑函数列收敛到 $f (x) = 0$ 的情况。这是因为 ${f_{n} (x)}$ （一致）收敛到 $f (x)$ ，等价于说 ${f_{n} (x) - f (x)}$ 一致收敛到 $0$ 。

　　 $lim_{x \to 0^{+}} f_{n} (x)$ 关于编号 $n$ 构成一个数列； $lim_{n \to \infty} f_{n} (x)$ 是一个函数。我们首先要证明 $lim_{x \to 0^{+}} f_{n} (x)$ 收敛，这样才能保证 $lim_{n \to \infty} lim_{x \to 0^{+}} f_{n} (x)$ 是有意义的。

　　首先定义 $f_{n} (a) = lim_{x \to 0^{+}} f_{n} (x)$ 。考虑一致收敛的柯西收敛原理定理 6 ， $f_{n} (x)$ 一致收敛意味着对于任意 $ϵ > 0$ ，存在 $N_{ϵ}$ ，使得对于任意 $m, n > ϵ$ ，恒有 $| f_{n} (x) - f_{m} (x) | < ϵ$ 。把每个 $| f_{m} (x) - f_{n} (x) |$ 看作关于 $x$ 的一个函数，那么我们对它求极限 $lim_{x \to 0^{+}}$ ，就可以得到 $| f_{n} (a) - f_{m} (a) | < ϵ$ 。这么一来， $f_{n} (a)$ 就是收敛的数列，进而式 6 左边是有意义的。

　　假设 ${f_{n} (x)}$ 一致收敛到 $f (x) = 0$ ，那么式 6 的右边就等于 $0$ ，接下来我们要证明左边也等于 $0$ 。

　　同样地， $f_{n} (x)$ 一致收敛意味着对于任意 $ϵ > 0$ ，存在 $N_{ϵ}$ ，使得对于任意 $m n > ϵ$ ，恒有 $| f_{n} (x) - f (x) | < ϵ$ ，因此 $| f_{n} (x) | < ϵ$ 。这也就是 $lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = 0$ 的定义，即式 6 左边也等于 $0$ 。

　　证毕。

例 2　极限不可以换序的反例

　　我们还是用

\begin{matrix} (7) & f_{n} (x) = x^{n} \end{matrix}

在区间

(0, 1)

上做例子。记其逐点连续为

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x)

。

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} lim_{n \to \infty} lim_{x \to 1^{-}} f_{n} (x) & = lim_{n \to \infty} 1 \\ = 1 \\ \neq 0 \\ = lim_{x \to 1^{-}} 0 \\ = lim_{x \to 1^{-}} f (x) \\ = lim_{x \to 1^{-}} lim_{n \to \infty} f_{n} (x) . \end{aligned} \end{matrix}

　　定理 1 的一个推论是：

推论 1　

　　设 ${f_{n}}$ 在区间 $I$ 上一致收敛到 $f$ 。如果各 $f_{n}$ 连续，那么 $f$ 也连续。

定理 2　

　　在闭区间 $[a, b]$ 上，如果函数列 ${f_{n} (x)}$ 一致收敛到 $f (x)$ ，且各 $f_{n} (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，那么 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上也可积，且有

\begin{matrix} (9) & \int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x, \end{matrix}

　　即此时积分和极限也可以换序。

　　另外，如果令

\begin{matrix} (10) & {\begin{aligned} F_{n} (x) & = \int_{a}^{x} f_{n} (t) d t \\ F (x) & = \int_{a}^{x} f (t) d t, \end{aligned} \end{matrix}

那么

F_{n} (x)

在

[a, b]

上也一致收敛到

F (x)

。

定理 3　

　　设 ${f_{n} (x)}$ 在某点 $x_{0} \in [a, b]$ 处收敛。如果各 $f_{n}$ 在 $[a, b]$ 上都处处可导，且导函数列 ${f_{n}^{'} (x)}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，那么 ${f_{n} (x)}$ 也在 $[a, b]$ 上一致收敛。

　　如果记 $lim f_{n} (x) = f (x)$ ，那么还有

\begin{matrix} (11) & f^{'} (x) = lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (x) . \end{matrix}

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一致收敛与极限换序

1. 极限换序

例 1

2. 一致收敛的极限换序

定理 1

例 2 极限不可以换序的反例

推论 1

定理 2

定理 3

例 1　

定理 1　

例 2　极限不可以换序的反例

推论 1　

定理 2　

定理 3　