一致收敛与极限换序

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 一致收敛

1. 极限换序

   函数、数列等有多个自变量存在时,我们有可能会需要考虑多重极限.比如说对于一个二元函数 $f(x, y)$,设它的定义域是 $x > 0, y > 0$,那么我们如何计算 $x\to 0, y\to 0$ 时 $f$ 的极限值呢?我们可以用以下式子来计算:

\begin{equation} \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}f(x, y) \end{equation}

   其中,对于任意 $y > 0$,$f(x, y)$ 可以认为是关于 $x$ 的一元函数,这样我们就可以计算出 $\lim\limits_{x\to 0}f(x, y)$.对于每个 $y > 0$,可以定义 $g(y)=\lim\limits_{x\to 0}f(x, y)$,因此对二元函数 $f$ 进行第一个求极限后,得到的是一个一元函数 $g$.这样,我们同样也能计算出 $\lim\limits_{y\to 0}g(y)$,这也就是式 1 .

   从直观的几何角度来理解,$\lim\limits_{x\to 0}f(x, y)$ 就像是求出了 $y$ 轴上的一个函数,然后 $\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}f(x, y)$ 就是这个函数的一个极限.

   我们也可以反过来,用

\begin{equation} \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}f(x, y) \end{equation}
来计算 $f$ 的二重极限,这个时候就相当于先求了 $x$ 轴上的一个函数,再求它的极限.

   随之而来的问题是,式 1 式 2 的值一样吗?换个说法就是,$f(x, y)$ 的二重极限可以交换次序吗?答案是 “不一定”,取决于函数的性质.例 1 就是一个反例.

例 1 

   考虑函数 $f(x, y)=x^y$.我们有:

\begin{equation} \lim\limits_{x\to 0}f(x, y)=0 \end{equation}
\begin{equation} \lim\limits_{y\to 0}f(x, y)=1 \end{equation}

   这就导致

\begin{equation} \begin{aligned} \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}f(x, y)&=0\\ &\not = 1\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}f(x, y) \end{aligned} \end{equation}

   因此,对于这个 $f(x, y)$,极限是不可以随便换序的.

2. 一致收敛的极限换序

   可以极限换序的函数,性质非常良好.一致收敛的函数列就拥有这个良好的性质.

定理 1 

   设在开区间 $(a, b)$ 上,函数列 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛.如果对于每个 $n$,右极限 $\lim\limits_{x\to 0^+}f_n(x)$ 都存在,那么就有

\begin{equation} \lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{x\to 0^+}f_n(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x) \end{equation}

   证明

   回顾一致收敛中提到的技巧,在研究和一致收敛相关的问题时,我们可以只考虑函数列收敛到 $f(x)=0$ 的情况.这是因为 $\{f_n(x)\}$(一致)收敛到 $f(x)$,等价于说 $\{f_n(x)-f(x)\}$ 一致收敛到 $0$.

   $\lim\limits_{x\to 0^+}f_n(x)$ 关于编号 $n$ 构成一个数列;$\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)$ 是一个函数.我们首先要证明 $\lim\limits_{x\to 0^+}f_n(x)$ 收敛,这样才能保证 $\lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{x\to 0^+}f_n(x)$ 是有意义的.

   首先定义 $f_n(a)=\lim\limits_{x\to 0^+}f_n(x)$.考虑一致收敛的柯西收敛原理定理 6 ,$f_n(x)$ 一致收敛意味着对于任意 $\epsilon > 0$,存在 $N_\epsilon$,使得对于任意 $m, n > \epsilon$,恒有 $ \left\lvert f_n(x)-f_m(x) \right\rvert < \epsilon$.把每个 $ \left\lvert f_m(x)-f_n(x) \right\rvert $ 看作关于 $x$ 的一个函数,那么我们对它求极限 $\lim\limits_{x\to 0^+}$,就可以得到 $ \left\lvert f_n(a)-f_m(a) \right\rvert < \epsilon$.这么一来,$f_n(a)$ 就是收敛的数列,进而式 6 左边是有意义的.

   假设 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛到 $f(x)=0$,那么式 6 的右边就等于 $0$,接下来我们要证明左边也等于 $0$.

   同样地,$f_n(x)$ 一致收敛意味着对于任意 $\epsilon > 0$,存在 $N_\epsilon$,使得对于任意 $mn > \epsilon$,恒有 $ \left\lvert f_n(x)-f(x) \right\rvert < \epsilon$,因此 $ \left\lvert f_n(x) \right\rvert < \epsilon$.这也就是 $\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=0$ 的定义,即式 6 左边也等于 $0$.

   证毕

例 2 极限不可以换序的反例

   我们还是用

\begin{equation} f_n(x)=x^n \end{equation}
在区间 $(0, 1)$ 上做例子.记其逐点连续为 $\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$.
\begin{equation} \begin{aligned} \lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{x\to 1^-}f_n(x)&=\lim\limits_{n\to\infty}1\\ &=1\\ &\not=0\\ &=\lim\limits_{x\to 1^-} 0\\ &=\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)\\ &=\lim\limits_{x\to 1^-}\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x) \end{aligned} \end{equation}

   定理 1 的一个推论是:

推论 1 

   设 $\{f_n\}$ 在区间 $I$ 上一致收敛到 $f$.如果各 $f_n$ 连续,那么 $f$ 也连续.

定理 2 

   在闭区间 $[a, b]$ 上,如果函数列 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛到 $f(x)$,且各 $f_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积,那么 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上也可积,且有

\begin{equation} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} =\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   即此时积分和极限也可以换序.

   另外,如果令

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} F_n(x)&=\int_a^x f_n(t) \,\mathrm{d}{t} \\ F(x)&=\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}{t} \end{aligned}\right. \end{equation}
那么 $F_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上也一致收敛到 $F(x)$.

定理 3 

   设 $\{f_n(x)\}$ 在某点 $x_0\in [a, b]$ 处收敛.如果各 $f_n$ 在 $[a, b]$ 上都处处可导,且导函数列 $\{f'_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛,那么 $\{f_n(x)\}$ 也在 $[a, b]$ 上一致收敛.

   如果记 $\lim f_n(x)=f(x)$,那么还有

\begin{equation} f'(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f'_n(x) \end{equation}


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