主理想整环

贡献者：叶月2_; JierPeter

预备知识　唯一析因环

　　在寻找唯一析因环的例子时，一个非常容易识别的类别就是本节介绍的的主理想整环。

　　可以证明，任意多个理想的交集依然是理想，因而可以用该方法来构造环上的理想。对于环 $R$ 的非空子集 $S$ ，用 $< S >$ 表示环上所有包含该集合的理想之交，称为由 $S$ 生成的理想。易证< $S$ >是包含该集合的最小理想。

例 1　

　　设 $R$ 为幺环，则有

\begin{matrix} (1) & ⟨ S ⟩ = {\sum_{i = 1}^{n} x_{i} a_{i} y_{i} ∣ n \in N, x_{i}, y_{i} \in R, a_{i} \in S, i = 1, 2, \dots, n} . \end{matrix}

定义 1　主理想

　　单个元素生成的理想，称为一个主理想（principal ideal），并称该元素为主理想上的一个生成元。

　　对于整环 $R$ ，任取 $a \in R$ ，可证 $⟨ a ⟩ = {r a | r \in R}$ 。

定义 2　主理想环

　　对于环 $R$ ，如果它的理想全都是主理想，那么称它为一个主理想环（principal ideal ring），常简称 PIR。

　　对于整环 $R$ ，如果它是 PIR，那么称它为一个主理想整环（principal ideal domain），常简称 PID。

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主理想整环

例 1

定义 1 主理想

定义 2 主理想环

例 1　

定义 1　主理想

定义 2　主理想环