主理想整环
贡献者： 叶月2_; JierPeter
在寻找唯一析因环的例子时，一个非常容易识别的类别就是本节介绍的的主理想整环。
可以证明，任意多个理想的交集依然是理想，因而可以用该方法来构造环上的理想。对于环 $R$ 的非空子集$S$，用 $< S>$ 表示环上所有包含该集合的理想之交，称为由 $S$生成的理想。易证<$S$>是包含该集合的最小理想。
例 1
设 $R$ 为幺环，则有
\begin{equation}
\langle S\rangle=\left\{\sum_{i=1}^n x_i a_iy_i \mid n \in \mathbb{N}, x_i,y_i \in R, a_i \in S, i=1,2, \cdots, n\right\}~.
\end{equation}
定义 1 主理想
单个元素生成的理想，称为一个主理想（principal ideal），并称该元素为主理想上的一个生成元。
对于整环 $R$，任取 $a\in R$，可证 $\langle a \rangle=\{ra|r\in R\}$。
定义 2 主理想环
对于环$R$，如果它的理想全都是主理想，那么称它为一个主理想环（principal ideal ring），常简称 PIR。
对于整环$R$，如果它是 PIR，那么称它为一个主理想整环（principal ideal domain），常简称 PID。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。