贡献者： JierPeter
定义 1 欧几里得环
给定整环 $R$，如果存在映射 $\delta:R\to\mathbb{Z}^+\cup\{0\}$1，使得对于任意 $a, b\in R$ 且 $b\not=0$，都存在 $q, r\in R$ 使得 $a=qb+r$，且 $\delta(r)<\delta(b)$，则称 $R$ 为一个欧几里得环（Euclid Ring），或者欧几里得整环（Euclid Domain）。
直观来说，欧几里得环就是 “可以做辗转相除法的环”。这从定义就可以看出来：任取 $a$，再用任意的 $b$ 去尝试除它，总能得到 $qb+r$ 的形式，其中 $r$ 相当于除法的余数。虽然任意环中的元素都可以这么做分解，而欧几里得环就特殊在它还关系到一个非负整数赋值，使得余数的赋值总是小于非零除数 $b$ 的，这样就使得我们可以多次分解，也就是进行辗转相除。
为了严格证明以上说法成立，我们还需要讨论欧几里得环的一个性质：
定理 1
设 $R$ 是一个欧几里得环，那么对于 $r\in R$，有：
$r=0\iff \delta(r)=0$。
证明：
任选 $a\in R$ 且 $a\not=0$，那么 $a=1a+0$，故由欧几里得环的定义可推知，对于任意 $a\in R-\{0\}$，必有 $\delta(0)<\delta(a)$，由此得证。
证毕。
有了定理 1 ，我们还可以补上定义中没有说明的一点：当 $\delta(a)\leq\delta(b)$ 的时候，我们可以取 $q=0$ 而 $r=a$ 来满足 $a=qb+r$ 且符合欧几里得环的性质。因此，一般只讨论 $\delta(a)>\delta(b)$ 的情形。
我们来看几个典型的欧几里得环。
例 1 整数环
对于 $n\in\mathbb{Z}$，令 $\delta(n)=n$，则容易看出 $\mathbb{Z}$ 是一个欧几里得环。
例 2 多项式环
任给域 $\mathbb{K}$，其多项式环 $\mathbb{K}[x]$ 是一个欧几里得环。取 $\delta(f(x))=2^{ \operatorname {deg}(f)}$ 即可。
$ \operatorname {deg}(f)$ 是 $f$ 的次数，也就是系数非零的最高项的幂次。这里 $\delta$ 要取 $2$ 的指数是因为 $ \operatorname {deg}(0)=-\infty$，而我们希望 $\delta(0)=0$。
例 3 高斯整数环
高斯整数环是复平面上的全体坐标为整数的点的集合 $\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$ 构成的环，并且是一个欧几里得环。证明见下。
证明：
对于任意 $z\in\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$，令 $\delta(z)= \left\lvert z \right\rvert ^2$。
任给 $a, b\in\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$，不妨设 $\delta(a)>\delta(b)$。于是必有 $u, v\in\mathbb{Q}$，使得 $\frac{a}{b}=(u+v \mathrm{i} )$。
于是必有 $c, d\in\mathbb{Z}$，使得 $ \left\lvert c-u \right\rvert \leq\frac{1}{2}$ 和 $ \left\lvert d-v \right\rvert \leq\frac{1}{2}$。
令 $q=c+d \mathrm{i} $，$r=(c+d \mathrm{i} )b-(u+v \mathrm{i} )b=(c+d \mathrm{i} )b-a$，即可满足 $a=qb+r$ 且 $\delta(r)<\delta(b)$。
证毕。
一些类似高斯整数环的环也可以是欧几里得环。
例 4
考虑 $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$，其中 $n$ 是正整数。取 $a, b, r, s\in\mathbb{Z}$，定义 $\delta:\mathbb{C}\to \mathbb{Z}^+\cup\{0\}$ 为复数的模方。显然，存在 $x, y\in \mathbb{Q}$ 使得
\begin{equation}
a+b\sqrt{-n} = \left(r+b\sqrt{-n} \right) \left(x+y\sqrt{-n} \right) ~.
\end{equation}
令 $n$ 和 $m$ 分别是距离 $x$ 和 $y$ 最近的整数，则 $ \left\lvert x-n \right\rvert <0> \left\lvert y-m \right\rvert $。于是
\begin{equation}
\begin{aligned}
a+b\sqrt{-n} ={}& \left(r+b\sqrt{-n} \right) \left(n+m\sqrt{-n} \right) +\\
& \left(r+b\sqrt{-n} \right) \left((x-n)+(y-m)\sqrt{-n} \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
只要保证 $ \left((x-n)+(y-m)\sqrt{-n} \right) $ 的模方恒小于 $1$，那么 $\delta$ 就是一个合适的函数，使得 $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ 是一个欧几里得环。利用 $ \left\lvert x-n \right\rvert <0> \left\lvert y-m \right\rvert $，可知
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lvert (x-n)+(y-m)\sqrt{-n} \right\rvert ^2 = (x-n)^2+n(y-m)^2 < \frac{1+n}{4}~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此，当 $n\leq 3$ 的时候，$\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ 是欧几里得环，即高斯整数环、$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 和 $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ 这三个情况。
证明：
设 $R$ 是一个欧几里得环，令 $I$ 为 $R$ 的一个理想。不妨设 $I\not=\{0\}$。
由于 $\delta(I)=\{\delta(i)|i\in I\}\subseteq\mathbb{Z}^+\cup\{0\}$，故在非零的 $\delta(i)$ 中存在最小值 $\delta(b)$，其中 $b\in I$。
任取 $a\in I$，则存在 $q, r\in R$ 且 $\delta(r)<\delta(b)$，使得 $a-qb=r$。
由于 $a, b\in I$ 且 $I$ 有吸收律2，故 $r\in I$。由于 $\delta(b)$ 是 $\delta(I)$ 中的最小非负值，因此必有 $\delta(r)=0$。由定理 1 ，$r=0$。
因此，$b|a$ 对任意 $a\in I$ 成立。
故 $I=\langle b \rangle$，从而得证。
证毕。
1. ^ 即给每一个环中元素赋予一个非负整数。
2. ^ 见环的理想和商环，这意味着 $qb\in I$。
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