欧几里得环

贡献者： JierPeter

　　 直观来说，欧几里得环就是 “可以做辗转相除法的环”。这从定义就可以看出来：任取 $a$，再用任意的 $b$ 去尝试除它，总能得到 $qb+r$ 的形式，其中 $r$ 相当于除法的余数。虽然任意环中的元素都可以这么做分解，而欧几里得环就特殊在它还关系到一个非负整数赋值，使得余数的赋值总是小于非零除数 $b$ 的，这样就使得我们可以多次分解，也就是进行辗转相除。

　　 为了严格证明以上说法成立，我们还需要讨论欧几里得环的一个性质：

　　 证明：

　　 任选 $a\in R$ 且 $a\ne 0$，那么 $a=1a+0$，故由欧几里得环的定义可推知，对于任意 $a\in R-\{0\}$，必有 $\delta (0)<\delta (a)$，由此得证。

　　 证毕。

　　 有了定理 1 ，我们还可以补上定义中没有说明的一点：当 $\delta (a)\le \delta (b)$ 的时候，我们可以取 $q=0$ 而 $r=a$ 来满足 $a=qb+r$ 且符合欧几里得环的性质。因此，一般只讨论 $\delta (a)>\delta (b)$ 的情形。

　　 我们来看几个典型的欧几里得环。

　　 $\mathrm{deg}(f)$ 是 $f$ 的次数，也就是系数非零的最高项的幂次。这里 $\delta$ 要取 $2$ 的指数是因为 $\mathrm{deg}(0)=-\mathrm{\infty }$，而我们希望 $\delta (0)=0$。

　　 证明：

　　 对于任意 $z\in \mathbb{Z}[\mathrm{i}]$，令 $\delta (z)={\left|z\right|}^2$。

　　 任给 $a,b\in \mathbb{Z}[\mathrm{i}]$，不妨设 $\delta (a)>\delta (b)$。于是必有 $u,v\in \mathbb{Q}$，使得 $\frac{a}{b}=(u+v\mathrm{i})$。

　　 于是必有 $c,d\in \mathbb{Z}$，使得 $|c-u|\le \frac{1}{2}$ 和 $|d-v|\le \frac{1}{2}$。

　　 令 $q=c+d\mathrm{i}$，$r=(c+d\mathrm{i})b-(u+v\mathrm{i})b=(c+d\mathrm{i})b-a$，即可满足 $a=qb+r$ 且 $\delta (r)<\delta (b)$。

　　 证毕。

　　 一些类似高斯整数环的环也可以是欧几里得环。

　　 证明：

　　 设 $R$ 是一个欧几里得环，令 $I$ 为 $R$ 的一个理想。不妨设 $I\ne \{0\}$。

　　 由于 $\delta (I)=\{\delta (i)|i\in I\}\subseteq {\mathbb{Z}}^{+}\cup \{0\}$，故在非零的 $\delta (i)$ 中存在最小值 $\delta (b)$，其中 $b\in I$。

　　 任取 $a\in I$，则存在 $q,r\in R$ 且 $\delta (r)<\delta (b)$，使得 $a-qb=r$。

　　 由于 $a,b\in I$ 且 $I$ 有吸收律²，故 $r\in I$。由于 $\delta (b)$ 是 $\delta (I)$ 中的最小非负值，因此必有 $\delta (r)=0$。由定理 1 ，$r=0$。

　　 因此，$b|a$ 对任意 $a\in I$ 成立。

　　 故 $I=⟨b⟩$，从而得证。

　　 证毕。

1. ^ 即给每一个环中元素赋予一个非负整数。
2. ^ 见环的理想和商环，这意味着 $qb\in I$。