欧几里得环

             

预备知识 主理想整环

定义 1 欧几里得环

   给定整环 $R$,如果存在映射 $\delta:R\to\mathbb{Z}^+\cup\{0\}$1,使得对于任意 $a, b\in R$ 且 $b\not=0$,都存在 $q, r\in R$ 使得 $a=qb+r$,且 $\delta(r) < \delta(b)$,则称 $R$ 为一个欧几里得环(Euclid Ring),或者欧几里得整环(Euclid Domain)

   直观来说,欧几里得环就是 “可以做辗转相除法的环”.这从定义就可以看出来:任取 $a$,再用任意的 $b$ 去尝试除以它,总能得到 $qb+r$ 的形式,其中 $r$ 相当于除法的余数.虽然任意环中的元素都可以这么做分解,而欧几里得环就特殊在它还关系到一个非负整数赋值,使得余数的赋值总是小于非零除数 $b$ 的,这样就使得我们可以多次分解,也就是进行辗转相除.

   为了严格证明以上说法成立,我们还需要讨论欧几里得环的一个性质:

定理 1 

   设 $R$ 是一个欧几里得环,那么对于 $r\in R$,有:

   $r=0\iff \delta(r)=0$.

   证明

   任选 $a\in R$ 且 $a\not=0$,那么 $a=1a+0$,故由欧几里得环的定义可推知,对于任意 $a\in R-\{0\}$,必有 $\delta(0) < \delta(a)$,由此得证.

   证毕

   有了定理 1 ,我们还可以补上定义中没有说明的一点:当 $\delta(a)\leq\delta(b)$ 的时候,我们可以取 $q=0$ 而 $r=a$ 来满足 $a=qb+r$ 且符合欧几里得环的性质.因此,一般只讨论 $\delta(a) > \delta(b)$ 的情形.

   我们来看几个典型的欧几里得环.

例 1 整数环

   对于 $n\in\mathbb{Z}$,令 $\delta(n)=n$,则容易看出 $\mathbb{Z}$ 是一个欧几里得环.

例 2 多项式环

   任给域 $\mathbb{K}$,其多项式环 $\mathbb{K}[x]$ 是一个欧几里得环.取 $\delta(f(x))=2^{ \operatorname {deg}(f)}$ 即可.

   $ \operatorname (deg)(f)$ 是 $f$ 的次数,也就是系数非零的最高项的幂次.这里 $\delta$ 要取 $2$ 的指数是因为 $ \operatorname {deg}(0)=-\infty$,而我们希望 $\delta(0)=0$.

例 3 高斯整数环

   高斯整数环是复平面上的全体坐标为整数的点的集合 $\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$ 构成的环,并且是一个欧几里得环.证明见下.

   证明

   对于任意 $z\in\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$,令 $\delta(z)= \left\lvert z \right\rvert ^2$.

   任给 $a, b\in\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$,不妨设 $\delta(a) > \delta(b)$.于是必有 $u, v\in\mathbb{Q}$,使得 $\frac{a}{b}=(u+v \mathrm{i} )$.

   于是必有 $c, d\in\mathbb{Z}$,使得 $ \left\lvert c-u \right\rvert \leq\frac{1}{2}$ 和 $ \left\lvert d-v \right\rvert \leq\frac{1}{2}$.

   令 $q=c+d \mathrm{i} $,$r=(c+d \mathrm{i} )b-(u+v \mathrm{i} )b=(c+d \mathrm{i} )b-a$,即可满足 $a=qb+r$ 且 $\delta(r) < \delta(b)$.

   证毕

定理 2 

   欧几里得环都是主理想整环.

   证明

   设 $R$ 是一个欧几里得环,令 $I$ 为 $R$ 的一个理想.不妨设 $I\not=\{0\}$.

   由于 $\delta(I)=\{\delta(i)|i\in I\}\subseteq\mathbb{Z}^+\cup\{0\}$,故在非零的 $\delta(i)$ 中存在最小值 $\delta(b)$,其中 $b\in I$.

   任取 $a\in I$,则存在 $q, r\in R$ 且 $\delta(r) < \delta(b)$,使得 $a-qb=r$.

   由于 $a, b\in I$ 且 $I$ 有吸收律2,故 $r\in I$.由于 $\delta(b)$ 是 $\delta(I)$ 中的最小非负值,因此必有 $\delta(r)=0$.由定理 1 ,$r=0$.

   因此,$b|a$ 对任意 $a\in I$ 成立.

   故 $I=\langle b \rangle$,从而得证.

   证毕


1. ^ 即给每一个环中元素赋予一个非负整数.
2. ^环的理想和商环,这意味着 $qb\in I$.

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