一元函数的对称与周期性

             

预备知识 函数

   轴对称,即当横坐标到对称轴的距离相等时,函数值也相等

\begin{equation} f\left( {a + x} \right) = f\left( {a - x} \right) \end{equation}
中心对称,即当横坐标到对称轴的距离相等时,函数值互为相反数
\begin{equation} f\left( {a + x} \right) = - f\left( {a - x} \right) \end{equation}
周期性,即横坐标经过一定长度后的函数值相等,
\begin{equation} f\left( {a + x} \right) = f\left( x \right) \end{equation}
其中,$a$ 分别为对称轴、对称中心和周期 $T$,现在来看同时含有参数 $a$ 和参数 $b$ 的情况
\begin{equation} \text{轴对称:} f\left( {a + x} \right) = f\left( {b - x} \right) \end{equation}
\begin{equation} \text{中心对称:} f\left( {a + x} \right) = - f\left( {b - x} \right) \end{equation}
\begin{equation} \text{周期性:} f\left( {a + x} \right) = f\left( {b + x} \right) \end{equation}
其对称轴、对称中心、周期分别为:$x = (a + b)/2$,$((a + b)/2, 0)$ 和 $T = \left| {b - a} \right|$.

   若 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 与直线 $x=b$ 对称,则 $f(x)$ 的一个周期为 $2\left| {b - a} \right|$

   若 $f(x)$ 关于点 $(a,0)$ 与点 $(b,0)$ 对称,则 $f(x)$ 的一个周期为 $2\left| {b - a} \right|$

   若 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 与点 $(b,0)$ 对称,则 $f(x)$ 的一个周期为 $4\left| {b - a} \right|$

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