薄透镜

贡献者：待更新

预备知识　折射定律

1. 单个球面的成像公式

图 1：单球面成像

　　如图 1 ，我们考虑两种折射率分别为 $n_1$ 和 $n_2$ 得介质被一个球面划分为左右两部分。当光线从左边入射时，经过界面反射。

　　 傍轴条件：图中所有角度都很小¹。球面近似是平面，球面上任意一点横坐标相同。

\begin{equation} l_1 \alpha_1 = l_2 \alpha_2 = R\theta~. \end{equation}

由三角形性质得

\begin{equation} \alpha_1 = \theta_1 - \theta ~,\qquad \alpha_2 = \theta - \theta_2~, \end{equation}

\begin{equation} n_1 \theta_1 = n_2 \theta_2~, \end{equation}

消去 $\theta_1$ 和 $\theta_2~,$ 得

\begin{equation} \frac{n_1}{l_1} + \frac{n_2}{l_2} = \frac{n_2 - n_1}{R}~, \end{equation}

这已经比较接近凸透镜成像公式了。注意当 $l_1$ 或者 $l_2$ 取负数时同样成立，这意味着物或者像在透镜的另一侧（即虚物或者虚像）。若透镜的圆心在左侧，将式中 $R$ 也改为负数即可（请读者自行证明这两个结论）。最后注意我们并不要求式中 $n_1, n_2$ 哪个更大。

2. 薄透镜

　　如果一个透镜的两个面可以近似为球面，且它们之间的距离比起物距和像距来可以忽略不计，那么我们就称它为薄透镜。我们假设透镜外介质的折射率为 $n_1$，透镜内折射率为 $n_2$。我们另透镜一侧的半径为 $R_1$，物距为 $u$，像距为 $v_1$，另一侧半径为 $R_2$（另焦点在另一边为正），物距为 $u_2$，像距为 $v$。于是有

\begin{equation} \frac{n_1}{u} + \frac{n_2}{v_1} = \frac{n_2 - n_1}{R_1}~, \end{equation}

\begin{equation} \frac{n_2}{u_2} + \frac{n_1}{v} = \frac{n_2 - n_1}{R_2}~. \end{equation}

由于透镜厚度可以忽略，任何情况下都有

\begin{equation} v_1 = -u_2~. \end{equation}

将式 5 与式 6 相加再用式 7 消去含有 $v_1$ 和 $u_2$ 的两项，就得到了熟悉的薄透镜成像公式

\begin{equation} \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}~. \end{equation}

其中

\begin{equation} \frac{1}{f} = \left(\frac{n_2}{n_1} - 1 \right) \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) ~. \end{equation}

再次声明这里使用的正负号规范：实物距离为正，实像距离为正，凸透镜半径为正；反之为负。

3. 薄透镜叠加

　　与上一节同理，若两个焦距分别为 $f_1$ 和 $f_2$ 的薄透镜叠加，当其间距远小于物距和像距时，合成后的透镜焦距 $f$ 满足

\begin{equation} \frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}~. \end{equation}

　　推导：另第一个透镜的物距为 $u$，像距为 $v_1$，第二个透镜物距为 $u_2$，像距为 $v$，由于两透镜距离可忽略，第一个透镜的实像像距等于第二个透镜的虚物物距，所以分别可以列出

\begin{equation} \frac{1}{u} + \frac{1}{v_1} = \frac{1}{f_1}~, \end{equation}

\begin{equation} \frac{1}{u_2} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f_2}~, \end{equation}

\begin{equation} v_1 = -u_2~, \end{equation}

联立得

\begin{equation} \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}~. \end{equation}

令组合透镜的等效焦距为 $f$，即等式右边为 $1/f$，得到式 10 。

1. ^ 即 $\sin\beta \approx \tan\beta \approx \beta$，见 “小角极限”

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