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薄透镜

预备知识　折射定律

1. 单个球面的成像公式

图 1：单球面成像

　　如图 1 ，我们考虑两种折射率分别为 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 得介质被一个球面划分为左右两部分。当光线从左边入射时，经过界面反射。

　　 傍轴条件：图中所有角度都很小¹。球面近似是平面，球面上任意一点横坐标相同。

\begin{matrix} (1) & l_{1} α_{1} = l_{2} α_{2} = R θ . \end{matrix}

由三角形性质得

\begin{matrix} (2) & α_{1} = θ_{1} - θ, α_{2} = θ - θ_{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & n_{1} θ_{1} = n_{2} θ_{2}, \end{matrix}

消去

θ_{1}

和

θ_{2},

得

\begin{matrix} (4) & \frac{n_{1}}{l_{1}} + \frac{n_{2}}{l_{2}} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R}, \end{matrix}

这已经比较接近凸透镜成像公式了。注意当

l_{1}

或者

l_{2}

取负数时同样成立，这意味着物或者像在透镜的另一侧（即虚物或者虚像）。若透镜的圆心在左侧，将式中

R

也改为负数即可（请读者自行证明这两个结论）。最后注意我们并不要求式中

n_{1}, n_{2}

哪个更大。

2. 薄透镜

　　如果一个透镜的两个面可以近似为球面，且它们之间的距离比起物距和像距来可以忽略不计，那么我们就称它为薄透镜。我们假设透镜外介质的折射率为 $n_{1}$ ，透镜内折射率为 $n_{2}$ 。我们另透镜一侧的半径为 $R_{1}$ ，物距为 $u$ ，像距为 $v_{1}$ ，另一侧半径为 $R_{2}$ （另焦点在另一边为正），物距为 $u_{2}$ ，像距为 $v$ 。于是有

\begin{matrix} (5) & \frac{n_{1}}{u} + \frac{n_{2}}{v_{1}} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R_{1}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \frac{n_{2}}{u_{2}} + \frac{n_{1}}{v} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R_{2}} . \end{matrix}

由于透镜厚度可以忽略，任何情况下都有

\begin{matrix} (7) & v_{1} = - u_{2} . \end{matrix}

将式 5 与式 6 相加再用式 7 消去含有

v_{1}

和

u_{2}

的两项，就得到了熟悉的薄透镜成像公式

\begin{matrix} (8) & \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f} . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (9) & \frac{1}{f} = (\frac{n_{2}}{n_{1}} - 1) (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}) . \end{matrix}

再次声明这里使用的正负号规范：实物距离为正，实像距离为正，凸透镜半径为正；反之为负。

3. 薄透镜叠加

　　与上一节同理，若两个焦距分别为 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的薄透镜叠加，当其间距远小于物距和像距时，合成后的透镜焦距 $f$ 满足

\begin{matrix} (10) & \frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} . \end{matrix}

　　推导：另第一个透镜的物距为 $u$ ，像距为 $v_{1}$ ，第二个透镜物距为 $u_{2}$ ，像距为 $v$ ，由于两透镜距离可忽略，第一个透镜的实像像距等于第二个透镜的虚物物距，所以分别可以列出

\begin{matrix} (11) & \frac{1}{u} + \frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{f_{1}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (12) & \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f_{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & v_{1} = - u_{2}, \end{matrix}

联立得

\begin{matrix} (14) & \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} . \end{matrix}

令组合透镜的等效焦距为

f

，即等式右边为

1 / f

，得到式 10 。

1. ^ 即 $\sin β \approx \tan β \approx β$ ，见 “小角极限”

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薄透镜

1. 单个球面的成像公式

2. 薄透镜

3. 薄透镜叠加