海森矩阵

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　偏导数（简明微积分）

　　¹一个二阶可导的多元函数 $f (x)$ 的海森矩阵（Hessian matrix）²， $H$ 的定义为

\begin{matrix} (1) & H_{i j} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} . \end{matrix}

f (x)

的泰勒展开的前两项可以用梯度矢量和海森矩阵表示为

\begin{matrix} (2) & f (x) = f (x_{0}) + (x - x_{0}) \nabla f (x_{0}) + \frac{1}{2} (x - x_{0}) H (x - x_{0}) + O ((x - x_{0})^{3}) . \end{matrix}

海森矩阵可以看做梯度矢量

\nabla f

的雅可比矩阵，即

\begin{matrix} (3) & H_{i j} = \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\frac{\partial f}{\partial x_{i}}), \end{matrix}

所以有

\begin{matrix} (4) & d (\nabla f) = H d x . \end{matrix}

　　如果 $f (x)$ 是一个二阶函数，海森矩将不随 $x$ 变化。所以有

\begin{matrix} (5) & \nabla f (x) - \nabla f (x_{0}) = H (x - x_{0}), \end{matrix}

则函数的极值点为（令

\nabla f = 0

）

\begin{matrix} (6) & x = x_{0} - H^{- 1} \nabla f (x_{0}) . \end{matrix}

这就是牛顿法寻找函数极小值的主要思路。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 也译作海瑟矩阵，海塞矩阵，黑塞矩阵等。

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