一维阶梯势能

             

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预备知识 定态薛定谔方程

   使用原子单位

\begin{equation} V(x) = \begin{cases} +\infty & (x \leqslant -l)\\ 0 & (-l \leqslant x < 0)\\ V_0 & (0 \leqslant x \leqslant l)\\ +\infty & (l \leqslant x) \end{cases} \end{equation}

   阶梯两侧得波数满足

\begin{equation} k^2 = 2V_0 + k_1^2 \end{equation}

   令波函数的一个解为

\begin{equation} \psi_1(x) = \begin{cases} A_1 \exp\left( \mathrm{i} k x\right) & (-l \leqslant x < 0)\\ C_1 \exp\left( \mathrm{i} k x\right) + D_1 \exp\left(- \mathrm{i} k x\right) & (0 \leqslant x \leqslant l) \end{cases} \end{equation}
在原点匹配函数值和导数,得
\begin{equation} \begin{cases} A_1 = C_1 + D_1\\ kA_1 = k_1 C_1 - k_1 D_1 \end{cases} \end{equation}
解得
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} C_1 = \frac{k_1 + k}{2k_1} A_1\\ D_1 = \frac{k_1 - k}{2k_1} A_1 \end{aligned}\right. \end{equation}

   令波函数的一个解为

\begin{equation} \psi_2(x) = \begin{cases} B_2 \exp\left(- \mathrm{i} k x\right) & (-l \leqslant x < 0)\\ C_2 \exp\left( \mathrm{i} k x\right) + D_2 \exp\left(- \mathrm{i} k x\right) & (0 \leqslant x \leqslant l) \end{cases} \end{equation}
在原点匹配函数值和导数,得
\begin{equation} \begin{cases} A_1 = C_1 + D_1\\ -kA_1 = k_1 C_1 - k_1 D_1 \end{cases} \end{equation}

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