无限深阶梯势阱
贡献者： addis
使用原子单位
\begin{equation}
V(x) =
\begin{cases}
+\infty & (x \leqslant -l)\\
0 & (-l \leqslant x < 0)\\
V_0 & (0 \leqslant x \leqslant l)\\
+\infty & (l \leqslant x)~.
\end{cases}
\end{equation}
阶梯两侧得波数满足
\begin{equation}
k^2 = 2V_0 + k_1^2~.
\end{equation}
令波函数的一个解为
\begin{equation}
\psi_1(x) =
\begin{cases}
A_1 \exp\left( \mathrm{i} k x\right) & (-l \leqslant x < 0)\\
C_1 \exp\left( \mathrm{i} k_1 x\right) + D_1 \exp\left(- \mathrm{i} k_1 x\right) & (0 \leqslant x \leqslant l)~.
\end{cases}
\end{equation}
在原点匹配函数值和导数，得
\begin{equation}
\begin{cases}
A_1 = C_1 + D_1\\
kA_1 = k_1 C_1 - k_1 D_1~,
\end{cases}
\end{equation}
解得
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
C_1 = \frac{k_1 + k}{2k_1} A_1\\
D_1 = \frac{k_1 - k}{2k_1} A_1~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
令波函数的一个解为
\begin{equation}
\psi_2(x) =
\begin{cases}
B_2 \exp\left(- \mathrm{i} k x\right) & (-l \leqslant x < 0)\\
C_2 \exp\left( \mathrm{i} k x\right) + D_2 \exp\left(- \mathrm{i} k x\right) & (0 \leqslant x \leqslant l)~,
\end{cases}
\end{equation}
在原点匹配函数值和导数，得
\begin{equation}
\begin{cases}
A_1 = C_1 + D_1\\
-kA_1 = k_1 C_1 - k_1 D_1~.
\end{cases}
\end{equation}
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