无限深阶梯势阱

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　定态薛定谔方程

　　使用原子单位

\begin{matrix} (1) & V (x) = {\begin{cases} + \infty & (x ⩽ - l) \\ 0 & (- l ⩽ x < 0) \\ V_{0} & (0 ⩽ x ⩽ l) \\ + \infty & (l ⩽ x) . \end{cases} \end{matrix}

　　阶梯两侧得波数满足

\begin{matrix} (2) & k^{2} = 2 V_{0} + k_{1}^{2} . \end{matrix}

　　令波函数的一个解为

\begin{matrix} (3) & ψ_{1} (x) = {\begin{cases} A_{1} \exp (i k x) & (- l ⩽ x < 0) \\ C_{1} \exp (i k_{1} x) + D_{1} \exp (- i k_{1} x) & (0 ⩽ x ⩽ l) . \end{cases} \end{matrix}

在原点匹配函数值和导数，得

\begin{matrix} (4) & {\begin{cases} A_{1} = C_{1} + D_{1} \\ k A_{1} = k_{1} C_{1} - k_{1} D_{1}, \end{cases} \end{matrix}

解得

\begin{matrix} (5) & {\begin{array}{r} C_{1} = \frac{k_{1} + k}{2 k_{1}} A_{1} \\ D_{1} = \frac{k_{1} - k}{2 k_{1}} A_{1} . \end{array} \end{matrix}

　　令波函数的一个解为

\begin{matrix} (6) & ψ_{2} (x) = {\begin{cases} B_{2} \exp (- i k x) & (- l ⩽ x < 0) \\ C_{2} \exp (i k x) + D_{2} \exp (- i k x) & (0 ⩽ x ⩽ l), \end{cases} \end{matrix}

在原点匹配函数值和导数，得

\begin{matrix} (7) & {\begin{cases} A_{1} = C_{1} + D_{1} \\ - k A_{1} = k_{1} C_{1} - k_{1} D_{1} . \end{cases} \end{matrix}

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