解三棱锥顶角

                     

贡献者： addis

　　 我们考虑如图 1 中三棱锥顶点 $O$ 处的 3 条棱和 3 个面之间的角度关系。这里涉及了三种角：两条棱之间的夹角（线线角）$\theta$，棱和面的夹角（线面角）$\gamma$，以及面和面的夹角（面面角）$\varphi$。对给定的顶点，每种角都有各有 3 个，共 9 个。我们先不讨论底面 $ABC$ 的位置如何，如果顶点的三条棱的方向都确定，我们就说顶点的形状确定。

　　 显然，我们无需知道所有 9 个角的大小才能确定顶点的形状。这里给出一个类似于三角形余弦定理的公式，将线线角和面面角联系起来。线线角可以类比余弦定理中的边长，面面角类比余弦定理中的夹角。

如果已知该式中的 4 个角中的 3 个，就可以求出另一个角。与余弦定理类似，在求解 ${\theta }_1$ 或 ${\theta }_2$ 时可能存在两个解，也可能无解。注意如果我们交换 ${\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$ 的值，上式仍然满足（这相当于创造一个镜像三棱锥）。

　　 一个关于线面角的常用公式是

其中 $\gamma$ 是线段 $OB$ 和三角形 $OAC$ 的线面角。虽然乍看之下从该式无法判断出 $\gamma$ 是钝角还是锐角，但仔细分析可以发现若 $\varphi$ 为钝角 $\gamma$ 也一定是钝角。

角边角

　　 事实上解三棱锥顶角和解三角形类似，面面角可以看作三角形的 “角”，而两条棱之间的角可以看作三角形的 “边”。例如式 1 就可以看作 “边角边” 问题（已知 ${\theta }_1,\varphi ,{\theta }_2$）求第三边 $\alpha$。

　　 那么我们再来看若已知 “角边角”（${\theta }_1,\alpha ,{\theta }_2$）求下一边 $\beta$（图 2 ）

　　 $\beta$ 满足

其中 $C,S,T$ 分别代表 $\cos ,\sin ,\tan$，$C_1=\cos {\theta }_1,C_2=\cos {\theta }_2$。该式子可以直接使用两次 “边角边” 公式解出来。注意上式若存在两个解，必须剔除一个无意义的解。

1. 证明

　　 我们可以用球坐标系来证明式 1 。令极坐标 $({\theta }_1,{\varphi }_1)$ 和 $({\theta }_2,{\varphi }_2)$ 代表的两个单位矢量的坐标分别为

证毕。

　　 再来证明式 2 ，我们仍然使用球坐标，将射线 OA 作为极轴，面 OAC 为 $xz$ 平面，线面角中 “线” 的极坐标为 $(1,\theta ,\varphi )$，该点的 $y$ 坐标为 $\sin \theta \sin \varphi$ 而 $y=\sin \gamma$，所以 $\sin \gamma =\sin \theta \sin \varphi$。证毕。