例: 有限维方阵

             

预备知识 矩阵的本征方程,谱投影

   如果将之前提到的泛函分析概念应用于有限维方阵, 则更容易看出它们的意义, 加深直观理解.

   这里一直设 $A$ 是 $n\times n$ 复矩阵. 我们把它视为 $\mathbb{C}^n$ 到自己的一个线性算子. 如词条 有界算子的谱 所说, 谱集 $\sigma(A)$ 恰为 $A$ 的特征值的集合, 而谱半径 $r(A)$ 当然就是特征值的最大模.

   现在设 $\sigma(A)=\{\lambda_1,...,\lambda_h\}$(重数大于 1 的特征值算作一个谱点). 我们可以把预解式 $R(z;A)=(z-A)^{-1}$ 视为矩阵值亚纯函数, 而显然 $\sigma(A)$ 就是它的极点集. 我们更可以借助矩阵的若尔当分解而写出 $R(z;A)$ 的明显表达式.

1. 回顾: 方阵的若尔当标准型

   并不是所有的矩阵都可以对角化, 例如简单的上三角矩阵 $$ \left( \begin{matrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{matrix} \right). $$ 不过对于不能对角化的矩阵, 仍然可以讨论它的相似标准型. 首先来回忆若尔当标准型分解定理:

定理 1 若尔当分解

  1. 每个特征值 $\lambda_k$ 都对应了 $A$ 的一个不变子空间 $V^{(k)}$, 全空间恰等于诸 $V^{(k)}$ 的直和. $V_k$ 的维数 $n_k$ 恰等于 $\lambda_k$ 的代数重数 (即 $\lambda_k$ 作为特征多项式 $\det(z-A)$ 根的重数).
  2. 设 $\lambda_k$ 的几何重数 (即线性无关的特征向量的个数) 是 $m_k$. 则不变子空间 $V^{(k)}$ 中存在一组线性无关的向量 $e^{(k)}_1,...,e^{(k)}_{m_k}$, 和一组相应的正整数 $d^{(k)}_1,...,d^{(k)}_{m_k}$, 使得向量组 $$ \begin{aligned} &e^{(k)}_1,\quad(A-\lambda_k)e^{(k)}_1,\quad...,\quad(A-\lambda_k)^{d^{(k)}_1-1}e^{(k)}_1\\ &......\\ &e^{(k)}_{m_k},\quad(A-\lambda_k)e^{(k)}_{m_k},\quad...,\quad(A-\lambda_k)^{d^{(k)}_{m_k}-1}e^{(k)}_{m_k} \end{aligned} $$ 构成 $V^{(k)}$ 的一组基底, 而且 $\{(A-\lambda_k)^{d^{(k)}_l-1}e^{(k)}_l\}_{l=1}^{m_k}$ 是 $A$ 的相应于 $\lambda_k$ 的一组线性无关的特征向量.

   根据这个定理, 如果取 $\mathbb{C}^n$ 的基底为向量组 $$ \begin{aligned} &e^{(k)}_1,\quad(A-\lambda_k)e^{(k)}_1,\quad...,\quad(A-\lambda_k)^{d^{(k)}_1-1}e^{(k)}_1\\ &......\\ &e^{(k)}_{m_k},\quad(A-\lambda_k)e^{(k)}_{m_k},\quad...,\quad(A-\lambda_k)^{d^{(k)}_{m_k}-1}e^{(k)}_{m_k}, \end{aligned} $$ 其中 $k$ 跑遍 $1,...,h$, 那么矩阵 $A$ 在这个新的基底下就分解成了分块矩阵 $$ \left( \begin{matrix} &J(\lambda_1) & & & \\ & &J(\lambda_2) & & \\ & & &...\\ & & & & J(\lambda_h) \end{matrix} \right). $$ 在这里, 每个 $J(\lambda_k)$ 是 $n_k\times n_k$ 方阵, 由 $m_k$ 个若尔当块组成: $$ J_l(\lambda_k) =\left( \begin{matrix} &\lambda_k & 1 & & & \\ & &\lambda_k & 1 & & \\ & & &...\\ & & & & \lambda_k & 1\\ & & & & & \lambda_k \end{matrix} \right), $$ 每个若尔当块 $J_l(\lambda_k)$ 是 $d_{m_k}^{(k)}\times d_{m_k}^{(k)}$ 方阵.

   于是, 矩阵 $A$ 可以重写为 $$ A=S\sum_{k=1}^h\left(\lambda_kI_{n_k}+\sum_{l=1}^k N_l^{(k)}\right)S^{-1}. $$

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