例: 有限维方阵

贡献者： DTSIo; addis

　　 如果将之前提到的泛函分析概念应用于有限维方阵，则更容易看出它们的意义，加深直观理解。

　　 这里一直设 $A$ 是 $n\times n$ 复矩阵。我们把它视为 ${\mathbb{C}}^n$ 到自己的一个线性算子。如文章有界算子的谱所说，谱集 $\sigma (A)$ 恰为 $A$ 的本征值的集合，而谱半径 $r(A)$ 当然就是本征值的最大模。

　　 现在设 $\sigma (A)=\{{\lambda }_1,...,{\lambda }_h\}$(重数大于 1 的本征值算作一个谱点). 我们可以把预解式 $R(z;A)=(z-A{)}^{-1}$ 视为矩阵值亚纯函数，而显然 $\sigma (A)$ 就是它的极点集。我们更可以借助矩阵的若尔当分解而写出 $R(z;A)$ 的明显表达式。

1. 回顾：方阵的若尔当标准型

　　 并不是所有的矩阵都可以对角化，例如简单的上三角矩阵 $$\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right).$$ 不过对于不能对角化的矩阵，仍然可以讨论它的相似标准型。首先来回忆若尔当标准型分解定理：

　　 根据这个定理，如果取 ${\mathbb{C}}^n$ 的基底为向量组 $$\begin{array}{rl}& e_1^{(k)},(A-{\lambda }_k)e_1^{(k)},...,(A-{\lambda }_k{)}^{d_1^{(k)}-1}{e}_1^{(k)},\\ & ......\\ & e_{m_k}^{(k)},(A-{\lambda }_k)e_{m_k}^{(k)},...,(A-{\lambda }_k{)}^{d_{m_k}^{(k)}-1}{e}_{m_k}^{(k)},\end{array}$$ 其中 $k$ 跑遍 $1,...,h$, 那么矩阵 $A$ 在这个新的基底下就分解成了分块矩阵 $$\left(\begin{array}{ccccc}& J({\lambda }_1)& & & \\ & & J({\lambda }_2)& & \\ & & & ...\\ & & & & J({\lambda }_h)\end{array}\right),$$ 在这里，每个 $J({\lambda }_k)$ 是 $n_k\times n_k$ 方阵，由 $m_k$ 个若尔当块组成： $$J_l({\lambda }_k)=\left(\begin{array}{cccccc}& {\lambda }_k& 1& & & \\ & & {\lambda }_k& 1& & \\ & & & ...\\ & & & & {\lambda }_k& 1\\ & & & & & {\lambda }_k\end{array}\right),$$ 每个若尔当块 $J_l({\lambda }_k)$ 是 $d_{m_k}^{(k)}\times d_{m_k}^{(k)}$ 方阵。

　　 于是，矩阵 $A$ 可以重写为 $$A=S\sum _{k=1}^h({\lambda }_k{I}_{n_k}+\sum _{l=1}^k{N}_l^{(k)})S^{-1}.$$