例: 有限维方阵

贡献者： DTSIo; addis

　　 如果将之前提到的泛函分析概念应用于有限维方阵，则更容易看出它们的意义，加深直观理解。

　　 这里一直设 $A$ 是 $n\times n$ 复矩阵。我们把它视为 $\mathbb{C}^n$ 到自己的一个线性算子。如文章有界算子的谱所说，谱集 $\sigma(A)$ 恰为 $A$ 的本征值的集合，而谱半径 $r(A)$ 当然就是本征值的最大模。

　　 现在设 $\sigma(A)=\{\lambda_1,...,\lambda_h\}$(重数大于 1 的本征值算作一个谱点). 我们可以把预解式 $R(z;A)=(z-A)^{-1}$ 视为矩阵值亚纯函数，而显然 $\sigma(A)$ 就是它的极点集。我们更可以借助矩阵的若尔当分解而写出 $R(z;A)$ 的明显表达式。

1. 回顾：方阵的若尔当标准型

　　 并不是所有的矩阵都可以对角化，例如简单的上三角矩阵 $$ \left( \begin{matrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{matrix} \right)~. $$ 不过对于不能对角化的矩阵，仍然可以讨论它的相似标准型。首先来回忆若尔当标准型分解定理：

　　 根据这个定理，如果取 $\mathbb{C}^n$ 的基底为向量组 $$ \begin{aligned} &e^{(k)}_1,\quad(A-\lambda_k)e^{(k)}_1,\quad...,\quad(A-\lambda_k)^{d^{(k)}_1-1}e^{(k)}_1~,\\ &......\\ &e^{(k)}_{m_k},\quad(A-\lambda_k)e^{(k)}_{m_k},\quad...,\quad(A-\lambda_k)^{d^{(k)}_{m_k}-1}e^{(k)}_{m_k}~, \end{aligned} $$ 其中 $k$ 跑遍 $1,...,h$, 那么矩阵 $A$ 在这个新的基底下就分解成了分块矩阵 $$ \left( \begin{matrix} &J(\lambda_1) & & & \\ & &J(\lambda_2) & & \\ & & &...\\ & & & & J(\lambda_h) \end{matrix} \right)~, $$ 在这里，每个 $J(\lambda_k)$ 是 $n_k\times n_k$ 方阵，由 $m_k$ 个若尔当块组成： $$ J_l(\lambda_k) =\left( \begin{matrix} &\lambda_k & 1 & & & \\ & &\lambda_k & 1 & & \\ & & &...\\ & & & & \lambda_k & 1\\ & & & & & \lambda_k \end{matrix} \right)~, $$ 每个若尔当块 $J_l(\lambda_k)$ 是 $d_{m_k}^{(k)}\times d_{m_k}^{(k)}$ 方阵。

　　 于是，矩阵 $A$ 可以重写为 $$ A=S\sum_{k=1}^h\left(\lambda_kI_{n_k}+\sum_{l=1}^k N_l^{(k)}\right)S^{-1}~. $$