有界算子的谱

贡献者： DTSIo; addis

预备知识　巴拿赫定理

　　 线性算子的谱（spectrum） 推广了矩阵的本征值这一概念。它对于了解线性算子如何作用于线性空间有着重要意义。在这一章中，我们主要讨论复巴拿赫空间上有界线性算子的谱。无界算子的谱将留待后续章节讨论。

　　由于实巴拿赫空间都可以复化成为复巴拿赫空间，所以在这一章中将一直考虑复巴拿赫空间。

1. 定义

定义 1　有界算子的谱

　　设 $X$ 是复巴拿赫空间， $T : X \to X$ 是有界线性算子。复数 $λ \in C$ 称为算子 $T$ 的一个谱点（spectral point），如果 $λ - T$ 不是可逆映射。 $T$ 的全体谱点的集合记为 $σ (T)$ ，称为谱集（spectrum），而补集 $C ∖ σ (T)$ 称作预解集（resolvent set），有时记为 $ρ (T)$ 。

　　既然 $T - λ$ 是有界算子，根据开映像原理，如果逆映射 $(T - λ)^{- 1}$ 存在，那么它也必然是连续的。因此 $T$ 的谱集可以等价地定义为使得 $(λ - T)^{- 1}$ 不是有界线性算子的那些 $λ$ 的集合。

　　有界算子 $T$ 的谱集 $σ (T)$ 可以分成三个互不相交的部分（可能有某个部分是空集，但按照下节的基本定理，谱集本身一定非空）：

点谱 $σ_{p} (T)$ (point spectrum)，定义为使得 $Ker (λ - T)$ 为非平凡子空间的那些谱点 $λ$ 的集合，也即 $T$ 的本征值的集合。
连续谱 $σ_{c} (T)$ （continuous spectrum），定义为使得 $Ker (λ - T) = {0}$ ，且 $Ran (λ - T)$ 在空间 $X$ 中稠密的那些谱点 $λ$ 的集合。
剩余谱 $σ_{r} (T)$ （remaining spectrum），定义为使得 $Ker (λ - T) = {0}$ ，且 $Ran (λ - T)$ 在空间 $X$ 中不稠密的那些谱点 $λ$ 的集合。

　　接下来马上就能看到，对于无穷维巴拿赫空间上的算子，定义连续谱和剩余谱是十分必要的。在讨论无界算子（尤其是量子力学中常见的算子）时更能看出这些概念的用处。

2. 一些例子

例 1　矩阵的本征值

　　设 $A$ 是 $n \times n$ 复矩阵。可以把它等价地看成 $C^{n}$ 到自己的线性算子。如果 $λ I_{n} - A$ 不可逆，那么它的行列式必定为零。按照线性方程组的性质，必然存在一个非零向量 $v \in C^{n}$ 使得 $λ v - A v = 0$ ，也就是说 $λ$ 是 $A$ 的本征值。这样看来，对于有限维空间上的线性算子，谱的概念和本征值是等价的。

　　然而对于无穷维巴拿赫空间，谱点不一定是本征值。

例 2　卷积算子

　　考虑 $L^{2} (R)$ 上的卷积算子 $(T f) (x) := \int_{R} f (y) e^{- (x - y)^{2}} d y .$ 如果取傅里叶变换，可看出它实际上是一个傅里叶乘子，即 $T f$ 的傅里叶变换是 $\hat{f} (ξ) e^{- ξ^{2}} .$ 这个算子在 $L^{2} (R)$ 上显然不可逆：例如，假若 $T f$ 的傅里叶变换是 $(1 + ξ^{2})^{- 1}$ ，那么就必须有 $\hat{f} (ξ) = e^{ξ^{2}} (1 + ξ^{2})^{- 1}$ ，这显然不能是任何 $L^{2}$ 函数的傅里叶变换。但 $T$ 的像却也是稠密的：如果 $\hat{f}$ 具有紧支集，那么 $T^{- 1} f$ 的傅里叶变换也具有紧支集，而傅里叶变换具有紧支集的那些 $L^{2}$ 函数组成 $L^{2} (R)$ 的稠密子空间。因此 $λ = 0$ 是 $T$ 的连续谱点。

　　通过类似的推理，不难看出 $σ (T) = [0, 1]$ ，也就是函数 $e^{- ξ^{2}}$ 的值域。这里的所有谱点都是连续谱点。

例 3　推移算子

　　考虑序列空间 $l^{2}$ 上的推移算子： $S : (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) \to (0, x_{1}, x_{2}, \dots) .$ 于是 $S$ 的像是余维数为 1 的闭子空间，可见 $S$ 不是可逆算子。另一方面， $S x = 0$ 当且仅当 $x = 0$ ，于是 $λ = 0$ 并非 $S$ 的本征值。可见 $λ = 0$ 是 $S$ 的剩余谱点。

　　通过求解方程 $(S - λ) x = y$ ，最终可以证明 $σ_{c} (S) = {λ : | λ | = 1}$ ， $σ_{r} (S) = {λ : | λ | < 1}$ ，而 $S$ 没有本征值。

　　不过，对于经典数学物理问题中常见的一大类算子（称为紧算子），真正使人感兴趣的谱点都是本征值。紧算子的性质与有限维矩阵是很像的。

　　然而，在量子力学中，连续谱和剩余谱都有鲜明的物理意义。一般的量子力学教材将算子的谱统称为本征值；尽管使用这样的术语并非完全不确切，但也可能会引起一些不必要的误会。

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有界算子的谱

1. 定义

定义 1 有界算子的谱

2. 一些例子

例 1 矩阵的本征值

例 2 卷积算子

例 3 推移算子

定义 1　有界算子的谱

例 1　矩阵的本征值

例 2　卷积算子

例 3　推移算子