有界算子的谱

             

预备知识 巴拿赫定理

   线性算子的谱 (spectrum) 推广了矩阵的本征值这一概念. 它对于了解线性算子如何作用于线性空间有着重要意义. 在这一章中, 我们主要讨论复巴拿赫空间上有界线性算子的谱. 无界算子的谱将留待后续章节讨论.

   由于实巴拿赫空间都可以复化成为复巴拿赫空间, 所以在这一章中将一直考虑复巴拿赫空间.

1. 定义

定义 1 有界算子的谱

   设 $X$ 是复巴拿赫空间, $T:X\to X$ 是有界线性算子. 复数 $\lambda\in\mathbb{C}$ 称为算子 $T$ 的一个谱点 (spectral point), 如果 $\lambda-T$ 不是可逆映射. $T$ 的全体谱点的集合记为 $\sigma(T)$, 称为谱集 (spectrum), 而补集 $\mathbb{C}\setminus\sigma(T)$ 称作预解集 (resolvent set), 有时记为 $\rho(T)$.

   既然 $T-\lambda$ 是有界算子, 根据开映像原理, 如果逆映射 $(T-\lambda)^{-1}$ 存在, 那么它也必然是连续的. 因此 $T$ 的谱集可以等价地定义为使得 $(\lambda-T)^{-1}$ 不是有界线性算子的那些 $\lambda$ 的集合.

   有界算子 $T$ 的谱集 $\sigma(T)$ 可以分成三个互不相交的部分 (可能有某个部分是空集, 但按照下节的基本定理, 谱集本身一定非空):

  1. 点谱 $\sigma_p(T)$ (point spectrum), 定义为使得 $\text{Ker}(\lambda-T)$ 为非平凡子空间的那些谱点 $\lambda$ 的集合, 也即 $T$ 的特征值的集合.
  2. 连续谱 $\sigma_c(T)$ (continuous spectrum), 定义为使得 $\text{Ker}(\lambda-T)=\{0\}$, 且 $\text{Ran}(\lambda-T)$ 在空间 $X$ 中稠密的那些谱点 $\lambda$ 的集合.
  3. 剩余谱 $\sigma_r(T)$ (remaining spectrum), 定义为使得 $\text{Ker}(\lambda-T)=\{0\}$, 且 $\text{Ran}(\lambda-T)$ 在空间 $X$ 中不稠密的那些谱点 $\lambda$ 的集合.

   接下来马上就能看到, 对于无穷维巴拿赫空间上的算子, 定义连续谱和剩余谱是十分必要的. 在讨论无界算子 (尤其是量子力学中常见的算子) 时更能看出这些概念的用处.

2. 一些例子

例 1 矩阵的本征值

   设 $A$ 是 $n\times n$ 复矩阵. 可以把它等价地看成 $\mathbb{C}^n$ 到自己的线性算子. 如果 $\lambda I_n-A$ 不可逆, 那么它的行列式必定为零. 按照线性方程组的性质, 必然存在一个非零向量 $v\in \mathbb{C}^n$ 使得 $\lambda v-Av=0$, 也就是说 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值. 这样看来, 对于有限维空间上的线性算子, 谱的概念和特征值是等价的.

   然而对于无穷维巴拿赫空间, 谱点不一定是特征值.

例 2 卷积算子

   考虑 $L^2(\mathbb{R})$ 上的卷积算子 $$ (Tf)(x):=\int_{\mathbb{R}}f(y)e^{-(x-y)^2}dy. $$ 如果取傅里叶变换, 可看出它实际上是一个傅里叶乘子, 即 $Tf$ 的傅里叶变换是 $$ \hat f(\xi)e^{-\xi^2}. $$ 这个算子在 $L^2(\mathbb{R})$ 上显然不可逆: 例如, 假若 $Tf$ 的傅里叶变换是 $(1+\xi^2)^{-1}$, 那么就必须有 $\hat f(\xi)=e^{\xi^2}(1+\xi^2)^{-1}$, 这显然不能是任何 $L^2$ 函数的傅里叶变换. 但 $T$ 的像却也是稠密的: 如果 $\hat f$ 具有紧支集, 那么 $T^{-1}f$ 的傅里叶变换也具有紧支集, 而傅里叶变换具有紧支集的那些 $L^2$ 函数组成 $L^2(\mathbb{R})$ 的稠密子空间. 因此 $\lambda=0$ 是 $T$ 的连续谱点.

   通过类似的推理, 不难看出 $\sigma(T)=[0,1]$, 也就是函数 $e^{-\xi^2}$ 的值域. 这里的所有谱点都是连续谱点.

例 3 推移算子

   考虑序列空间 $l^2$ 上的推移算子: $$ S:(x_1,x_2,x_3,...)\to(0,x_1,x_2,...). $$ 于是 $S$ 的像是余维数为 1 的闭子空间, 可见 $S$ 不是可逆算子. 另一方面, $Sx=0$ 当且仅当 $x=0$, 于是 $\lambda=0$ 并非 $S$ 的特征值. 可见 $\lambda=0$ 是 $S$ 的剩余谱点.

   通过求解方程 $(S-\lambda)x=y$, 最终可以证明 $\sigma_c(S)=\{\lambda:|\lambda|=1\}$, $\sigma_r(S)=\{\lambda:|\lambda| < 1\}$, 而 $S$ 没有特征值.

   不过, 对于经典数学物理问题中常见的一大类算子 (称为紧算子), 真正使人感兴趣的谱点都是特征值. 紧算子的性质与有限维矩阵是很像的.

   然而, 在量子力学中, 连续谱和剩余谱都有鲜明的物理意义. 一般的量子力学教材将算子的谱统称为本征值; 尽管使用这样的术语并非完全不确切, 但也可能会引起一些不必要的误会.

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