谱投影

贡献者： DTSIo; addis

预备知识　有界算子的预解式

1. 谱投影与空间分解

定义 1　谱投影

　　设 $X$ 是复巴拿赫空间， $T : X \to X$ 是有界算子。设有一条简单闭道路 $γ$ 将谱集 $σ (T)$ 分成了不相交的两部分，将包含在 $γ$ 内部的部分记为 $Λ$ . 则算子 $P_{Λ} := \frac{1}{2 π i} \int_{γ} (z - T)^{- 1} d z$ 称为 $T$ 在 $Λ$ 上的谱投影。

　　为何要像这样定义谱投影？原来，这其实是在推广线性代数中将空间分解为矩阵的不变子空间的操作。对于矩阵的情形，参见文章例：有限维方阵, 在那里谱投影的意义可以通过直接计算看出。在一般的巴拿赫空间的情形，我们首先有如下命题：

引理 1　

　　如上定义的算子 $P_{Λ}$ 的确是有界的投影算子，即满足 $P_{Λ}^{2} = P_{Λ} .$ 另外， $P_{Λ}$ 与 $T$ 可交换。

　　由此可见，空间 $X$ 被分成了两个闭子空间 $M_{Λ} := Ran (P_{Λ})$ 和 $N_{Λ} := Ran (1 - P_{Λ})$ 的直和。由此即可得到不变子空间分解定理：

定理 1　不变子空间分解

　　闭子空间 $M_{Λ}$ 和 $N_{Λ}$ 都是算子 $T$ 的不变子空间，而且有直和 $X = M_{Λ} \oplus N_{Λ} .$ 若把算子 $T$ 限制在 $M_{Λ}$ 上，并且视之为 $M_{Λ}$ 上的算子，则它的谱是 $Λ$ ; 同样地，若把算子 $T$ 限制在 $N_{Λ}$ 上，并且视之为 $N_{Λ}$ 上的算子，则它的谱是 $σ (T) ∖ Λ$ .

　　这也就是说，谱集分离成多个部分即意味着空间分解为算子的不变子空间的直和。这就使得算子在空间上的作用更清楚了。

2. 孤立谱点

　　如果 $λ_{0} \in σ (T)$ 是孤立的谱点，那么可以认为它是预解式 $(z - T)^{- 1}$ 的孤立奇点。仿照复变函数论，当然可以谈论它在孤立奇点处的留数和洛朗展开式。显然，预解式在 $λ_{0}$ 处的留数就是谱投影 $P_{λ_{0}} = \frac{1}{2 π i} \int_{| z - λ_{0} | = r} (z - T)^{- 1} d z,$ 这里 $| z - λ_{0} | = r$ 是一个充分小的圆。正像计算洛朗级数展开式那样，也不难得出 $(z - T)^{- 1}$ 在 $z = λ_{0}$ 附近的洛朗展开： $\begin{array}{r} (z - T)^{- 1} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} (z - λ_{0})^{n} A_{n}, A_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{| z - λ_{0} | = r} (z - λ_{0})^{- (n + 1)} (z - T)^{- 1} d z . \end{array}$ 有如下定理：

定理 2　

　　如果 $(z - T)^{- 1}$ 以 $z = λ_{0}$ 为 $m$ 阶极点，也就是说它的洛朗展开式的负幂项只到 $A_{- m} (z - λ_{0})^{- m}$ , 那么 $λ_{0}$ 是 $T$ 的本征值，本征子空间的维数为 $m$ . 此时有 $Ker (λ_{0} - T) = Ran P_{λ_{0}}$ , 而空间 $X$ 可以分解为 $T$ 的不变子空间的直和： $X = Ker (λ_{0} - T) \oplus Ran (λ_{0} - T)^{m} .$

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谱投影

1. 谱投影与空间分解

定义 1 谱投影

引理 1

定理 1 不变子空间分解

2. 孤立谱点

定理 2

定义 1　谱投影

引理 1　

定理 1　不变子空间分解

定理 2　