谱投影
贡献者： DTSIo; addis
1. 谱投影与空间分解
定义 1 谱投影
设 $X$ 是复巴拿赫空间，$T:X\to X$ 是有界算子。设有一条简单闭道路 $\gamma$ 将谱集 $\sigma(T)$ 分成了不相交的两部分，将包含在 $\gamma$ 内部的部分记为 $\Lambda$. 则算子
$$
P_\Lambda:=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma(z-T)^{-1}dz~
$$
称为 $T$ 在 $\Lambda$ 上的谱投影。
为何要像这样定义谱投影？原来，这其实是在推广线性代数中将空间分解为矩阵的不变子空间的操作。对于矩阵的情形，参见文章 例：有限维方阵, 在那里谱投影的意义可以通过直接计算看出。在一般的巴拿赫空间的情形，我们首先有如下命题：
引理 1
如上定义的算子 $P_\Lambda$ 的确是有界的投影算子，即满足
$$
P_\Lambda^2=P_\Lambda~.
$$
另外，$P_\Lambda$ 与 $T$ 可交换。
由此可见，空间 $X$ 被分成了两个闭子空间 $M_\Lambda:=\text{Ran}(P_\Lambda)$ 和 $N_\Lambda:=\text{Ran}(1-P_\Lambda)$ 的直和。由此即可得到不变子空间分解定理：
定理 1 不变子空间分解
闭子空间 $M_\Lambda$ 和 $N_\Lambda$ 都是算子 $T$ 的不变子空间，而且有直和
$$
X=M_\Lambda\oplus N_\Lambda~.
$$
若把算子 $T$ 限制在 $M_\Lambda$ 上，并且视之为 $M_\Lambda$ 上的算子，则它的谱是 $\Lambda$; 同样地，若把算子 $T$ 限制在 $N_\Lambda$ 上，并且视之为 $N_\Lambda$ 上的算子，则它的谱是 $\sigma(T)\setminus\Lambda$.
这也就是说，谱集分离成多个部分即意味着空间分解为算子的不变子空间的直和。这就使得算子在空间上的作用更清楚了。
2. 孤立谱点
如果 $\lambda_0\in\sigma(T)$ 是孤立的谱点，那么可以认为它是预解式 $(z-T)^{-1}$ 的孤立奇点。仿照复变函数论，当然可以谈论它在孤立奇点处的留数和洛朗展开式。显然，预解式在 $\lambda_0$ 处的留数就是谱投影
$$
P_{\lambda_0}=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-\lambda_0|=r}(z-T)^{-1}dz~,
$$
这里 $|z-\lambda_0|=r$ 是一个充分小的圆。正像计算洛朗级数展开式那样，也不难得出 $(z-T)^{-1}$ 在 $z=\lambda_0$ 附近的洛朗展开：
$$
\begin{aligned}
(z-T)^{-1}
=\sum_{n=-\infty}^\infty(z-\lambda_0)^nA_n~,
\quad
A_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-\lambda_0|=r}(z-\lambda_0)^{-(n+1)}(z-T)^{-1}dz~.
\end{aligned}
$$
有如下定理：
定理 2
如果 $(z-T)^{-1}$ 以 $z=\lambda_0$ 为 $m$ 阶极点，也就是说它的洛朗展开式的负幂项只到 $A_{-m}(z-\lambda_0)^{-m}$, 那么 $\lambda_0$ 是 $T$ 的本征值，本征子空间的维数为 $m$. 此时有 $\text{Ker}(\lambda_0-T)=\text{Ran}P_{\lambda_0}$, 而空间 $X$ 可以分解为 $T$ 的不变子空间的直和：
$$
X=\text{Ker}(\lambda_0-T)\oplus \text{Ran}(\lambda_0-T)^m~.
$$
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