谱投影

             

预备知识 有界算子的预解式

1. 谱投影与空间分解

定义 1 谱投影

   设 $X$ 是复巴拿赫空间, $T:X\to X$ 是有界算子. 设有一条简单闭道路 $\gamma$ 将谱集 $\sigma(T)$ 分成了不相交的两部分, 将包含在 $\gamma$ 内部的部分记为 $\Lambda$. 则算子 $$ P_\Lambda:=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma(z-T)^{-1}dz $$ 称为 $T$ 在 $\Lambda$ 上的谱投影.

   为何要像这样定义谱投影? 原来, 这其实是在推广线性代数中将空间分解为矩阵的不变子空间的操作. 对于矩阵的情形, 参见词条 例: 有限维方阵, 在那里谱投影的意义可以通过直接计算看出. 在一般的巴拿赫空间的情形, 我们首先有如下命题:

引理 1 

   如上定义的算子 $P_\Lambda$ 的确是有界的投影算子, 即满足 $$ P_\Lambda^2=P_\Lambda. $$ 另外, $P_\Lambda$ 与 $T$ 可交换.

   由此可见, 空间 $X$ 被分成了两个闭子空间 $M_\Lambda:=\text{Ran}(P_\Lambda)$ 和 $N_\Lambda:=\text{Ran}(1-P_\Lambda)$ 的直和. 由此即可得到不变子空间分解定理:

定理 1 不变子空间分解

   闭子空间 $M_\Lambda$ 和 $N_\Lambda$ 都是算子 $T$ 的不变子空间, 而且有直和 $$ X=M_\Lambda\oplus N_\Lambda. $$ 若把算子 $T$ 限制在 $M_\Lambda$ 上, 并且视之为 $M_\Lambda$ 上的算子, 则它的谱是 $\Lambda$; 同样地, 若把算子 $T$ 限制在 $N_\Lambda$ 上, 并且视之为 $N_\Lambda$ 上的算子, 则它的谱是 $\sigma(T)\setminus\Lambda$.

   这也就是说, 谱集分离成多个部分即意味着空间分解为算子的不变子空间的直和. 这就使得算子在空间上的作用更清楚了.

2. 孤立谱点

   如果 $\lambda_0\in\sigma(T)$ 是孤立的谱点, 那么可以认为它是预解式 $(z-T)^{-1}$ 的孤立奇点. 仿照复变函数论, 当然可以谈论它在孤立奇点处的留数和洛朗展开式. 显然, 预解式在 $\lambda_0$ 处的留数就是谱投影 $$ P_{\lambda_0}=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-\lambda_0|=r}(z-T)^{-1}dz, $$ 这里 $|z-\lambda_0|=r$ 是一个充分小的圆. 正像计算洛朗级数展开式那样, 也不难得出 $(z-T)^{-1}$ 在 $z=\lambda_0$ 附近的洛朗展开: $$ \begin{aligned} (z-T)^{-1} =\sum_{n=-\infty}^\infty(z-\lambda_0)^nA_n, \quad A_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-\lambda_0|=r}(z-\lambda_0)^{-(n+1)}(z-T)^{-1}dz. \end{aligned} $$ 有如下定理:

定理 2 

   如果 $(z-T)^{-1}$ 以 $z=\lambda_0$ 为 $m$ 阶极点, 也就是说它的洛朗展开式的负幂项只到 $A_{-m}(z-\lambda_0)^{-m}$, 那么 $\lambda_0$ 是 $T$ 的特征值, 特征子空间的维数为 $m$. 此时有 $\text{Ker}(\lambda_0-T)=\text{Ran}P_{\lambda_0}$, 而空间 $X$ 可以分解为 $T$ 的不变子空间的直和: $$ X=\text{Ker}(\lambda_0-T)\oplus \text{Ran}(\lambda_0-T)^m. $$

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