双摆和三摆

                     

贡献者: addis; FFjet

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预备知识 拉格朗日方程

1. 双摆

图
图 1:双摆

运动方程

图
图 2:数值模拟结果,动画见这里,代码见 “双摆的数值计算(Matlab)”.

  

未完成:文字说明
$N$ 摆的动能可以参考这里
\begin{equation} \begin{aligned} T &= \frac{1}{2} m_1 (l_1 \omega_1)^2 + \frac{1}{2} m_2 [(l_1 \omega_1 \cos\theta_1 + l_2 \omega_2 \cos\theta_2)^2 + (l_1 \omega_1 \sin\theta_1 + l_2 \omega_2 \sin\theta_2)^2] \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} V = -m_1 g l_1 \cos \theta_1 - m_2 g (l_1\cos \theta_1 + l_2 \cos \theta_2) \end{equation}
\begin{equation} L(\theta_1, \theta_2, \omega_1, \omega_2) = T(\omega_1, \omega_2) - V(\theta_1, \theta_2) \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \omega_i} = \frac{\partial L}{\partial \theta_i} \quad (i=1,2) \end{equation}

   令 $\alpha = \theta_2-\theta_1$,得

\begin{equation} \frac{\partial T}{\partial \omega_1} = (m_1 + m_2)l_1^2\omega_1 + m_2l_1l_2\cos\alpha\cdot\omega_2 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial T}{\partial \omega_2} = m_2l_1l_2\cos\alpha\cdot\omega_1 + m_2l_2^2\omega_2 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial T}{\partial \omega_1} = (m_1 + m_2)l_1^2\dot\omega_1 + m_2l_1l_2\cos\alpha\cdot\dot\omega_2 - m_2l_1l_2\sin\alpha(\omega_2-\omega_1) \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial T}{\partial \omega_2} = m_2l_1l_2\cos\alpha\cdot\dot\omega_1 + m_2l_2^2\dot\omega_2 -m_2l_1l_2\sin\alpha(\omega_2-\omega_1)\omega_1 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial T}{\partial \theta_1} = m_2l_1l_2\sin\alpha\cdot \omega_1\omega_2 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial T}{\partial \theta_2} = -m_2l_1l_2\sin\alpha\cdot \omega_1\omega_2 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial V}{\partial \theta_1} = m_1gl_1\sin\theta_1 + m_2gl_1\sin\theta_1 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial V}{\partial \theta_2} = m_2gl_2\sin\theta_2 \end{equation}
代入式 4
\begin{equation} (m_1+m_2)l_1\dot\omega_1 + m_2l_2\cos\alpha\cdot\dot\omega_2 = m_2l_2\sin\alpha\cdot\omega_2^2 - (m_1+m_2)g\sin\theta_1 \end{equation}
\begin{equation} l_1\cos\alpha\cdot\dot\omega_1 + l_2\dot\omega_2 = l_1 \sin\left(\theta_1-\theta_2\right) \omega_1^2 - g\sin\theta_2 \end{equation}
解得
\begin{equation} \dot\omega_1 = \frac{m_2l_2\sin\alpha\cdot\omega_2^2 - (m_1+m_2)g\sin\theta_1 + m_2[l_1\sin\alpha\cdot\omega_1^2 + g\sin\theta_2] \cos\alpha}{m_1l_1 + m_2l_1\sin^2\alpha} \end{equation}
\begin{equation} \dot\omega_2 = \frac{[(m_1+m_2)g\sin\theta_1 - m_2l_2\sin\alpha\cdot\omega_2^2]\cos\alpha - (m_1+m_2)[l_1\sin\alpha\cdot\omega_1^2 + g\sin\theta_2]}{m_1l_2 + m_2l_2\sin^2\alpha} \end{equation}

2. 刚体双摆

图
图 3:刚体双摆的模拟结果,动画见这里,代码见 “双摆的数值计算(Matlab)”.

   若第一个质量为 $m_1$ 刚体的质心用 $l_1,\theta_1$ 描述,关于质心的转动惯量为 $I_1$,第二个刚体质量为 $m_2$,转轴与第一个刚体的转轴距离 $r_1$,与第一个刚体质心的夹角为 $\alpha$,那么

\begin{equation} \begin{aligned} T &= \frac{1}{2}m_1 l_1^2 \omega_1^2 + \frac{1}{2}I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2}m_2[(r_1\omega_1 \cos\left(\theta_1 + \alpha\right) + l_2\omega_2\cos\theta_2)^2\\ &\qquad \qquad \qquad+ (r_1\omega_1 \sin\left(\theta_1+\alpha_1\right) + l_2\omega_2\sin\theta_2)^2] + \frac{1}{2}I_2\omega_2^2\\ &= \frac{1}{2}(m_1l_1^2 + m_2r_1^2 + I_1)\omega_1^2 + \frac{1}{2}(m_2l_2^2 + I_2)\omega_2^2 + m_2r_1l_2 \cos\left(\theta_1+\alpha-\theta_2\right) \omega_1\omega_2 \end{aligned} \end{equation}
令 $T = a\omega_1^2 + b\omega_2^2 + c\omega_1\omega_2$,注意 $a,b$ 是常数,而 $c$ 是时间的函数.

\begin{equation} V = -m_1 g l_1 \cos \theta_1 - m_2 g (r_1 \cos\left(\theta_1 + \alpha\right) + l_2 \cos \theta_2) \end{equation}
这样,
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial T}{\partial \omega_1} = 2a\dot\omega_1 + c\dot\omega_2 + \frac{\partial c}{\partial \theta_1} \omega_1\omega_2 + \frac{\partial c}{\partial \theta_2} \omega_2^2 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial T}{\partial \omega_2} = 2b\dot\omega_2 + c\dot\omega_1 + \frac{\partial c}{\partial \theta_1} \omega_1^2 + \frac{\partial c}{\partial \theta_2} \omega_1\omega_2 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial T}{\partial \theta_1} = \frac{\partial c}{\partial \theta_1} \omega_1\omega_2, \qquad \frac{\partial T}{\partial \theta_2} = \frac{\partial c}{\partial \theta_2} \omega_1\omega_2 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial V}{\partial \theta_1} = m_1gl_1\sin\theta_1 + m_2gr_1 \sin\left(\theta_1+\alpha\right) , \qquad \frac{\partial V}{\partial \theta_2} = m_2gl_2\sin\theta_2 \end{equation}
代入拉格朗日方程式 4
\begin{equation} 2a\dot\omega_1 + c\dot\omega_2 = - \frac{\partial c}{\partial \theta_2} \omega_2^2 - \frac{\partial V}{\partial \theta_1} \end{equation}
\begin{equation} c\dot\omega_1 + 2b\dot\omega_2 = - \frac{\partial c}{\partial \theta_1} \omega_1^2 - \frac{\partial V}{\partial \theta_2} \end{equation}
这里不具体写出 $\dot\omega_1, \dot\omega_2$ 的解,可以直接使用克拉默法则

3. 三摆

图
图 4:三摆

   如图 4 所示,三根质量不计的杆长度分别为 $l_1, l_2, l_3$,三个质点的质量分别为 $m_1, m_2, m_3$.我们把这个模型叫做三摆.三摆常用于演示物理学中的混沌现象.

运动方程

  

未完成:文字说明
\begin{equation} \begin{aligned} T &= \frac{1}{2} m_1 (l_1 \omega_1)^2 + \frac{1}{2} m_2 [(l_1 \omega_1 \cos\theta_1 + l_2 \omega_2 \cos\theta_2)^2 +\\ &\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (l_1 \omega_1 \sin\theta_1 + l_2 \omega_2 \sin\theta_2)^2]\\ & + \frac{1}{2} m_3 [(l_1 \omega_1 \cos\theta_1 + l_2 \omega_2 \cos\theta_2 + l_3 \omega_3 \cos \theta_3)^2 +\\ &\qquad\qquad\qquad (l_1 \omega_1 \sin\theta_1 + l_2 \omega_2 \sin\theta_2 + l_3 \omega_3 \sin\theta_3)^2] \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} V &= -m_1 g l_1 \cos \theta_1 - m_2 g (l_1\cos \theta_1 + l_2 \cos \theta_2)\\ &\qquad - m_3 g (l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos \theta_2 + l_3 \cos \theta_3) \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} L(\theta_1, \theta_2, \theta_3, \omega_1, \omega_2, \omega_3) = T(\omega_1, \omega_2, \omega_3) - V(\theta_1, \theta_2, \theta_3) \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \omega_i} = \frac{\partial L}{\partial \theta_i} \quad (i=1,2,3) \end{equation}

   这是一个二阶微分方程组.


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